Aloha :)
a) Ich würde die Funktion zunächst etwas umformen:$$y=\frac{x+1}{x-3}=\frac{x-3+4}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{4}{x-3}=1+\frac{4}{x-3}\ne1$$Wir stellen fest, dass \(y\ne1\) ist. Das behalten wir für die Umformung und das Ergebnis im Hinterkopf:
$$\left.y=1+\frac{4}{x-3}\quad\right|\;-1$$$$\left.y-1=\frac{4}{x-3}\quad\right|\;\text{Kehrwert auf beiden Seiten}$$$$\left.\frac{1}{y-1}=\frac{x-3}{4}\quad\right|\;\cdot4$$$$\left.\frac{4}{y-1}=x-3\quad\right|\;+3$$$$\left.\frac{4}{y-1}+3=x\quad\right.$$Da wir oben festgestellt haben, dass \(y\ne1\) ist, divdieren wir in keinem Fall durch \(0\). Jetzt noch \(x\) und \(y\) vertauschen und wir sind hier fertig:$$y=\frac{4}{x-1}+3$$
c) Da die \(e\)-Funktion immer \(>0\) ist, muss \(y>1\) sein. Das merken wir uns und bilden die Umkehrfunktion:
$$\left.y=1+e^{0,5x+3}\quad\right|\;-1$$$$\left.y-1=e^{0,5x+3}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$Da \(y>1\) ist \(y-1>0\), sodass wir die \(\ln\)-Funktion darauf wirken lassen können:$$\left.\ln(y-1)=0,5x+3\quad\right|\;-3$$$$\left.\ln(y-1)-3=0,5x\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.2\ln(y-1)-6=x\quad\right.$$Am Ende noch \(x\) und \(y\) vertauschen:$$y=2\ln(x-1)-6$$