Umkehrbarkeit,Definitions und Wertebereich angeben

Question

Umkehrbarkeit.

Ich soll entscheiden ob die Funktionen umkehrbar sind oder nicht. Für jede Umkehrbare Funktion y=f(x) soll ich die inverse Funktion y=f^-1(x) und den größtmöglichen Definitions und Wertebereich angeben.

Kann mir jemand bei folgenden Aufgaben helfen?

a) y=x+1/x-3      EDIT:  Tschaka rechnet mit a) y= (x+1) / (x-3)

b)y=e^{x^4+2x^2} 

c)y=1+3e^0,5x+3

Das wären die Aufgaben bei denen ich Hilfe brauche.

Answer 1

Hallo

 nur bei a) hast du für Nenner=0 undefiniert alle anderen sind überall definiert, aber nich im ganzen Def. gebiet umkehrbar. Bsp y=x^2 hat nur für x>o die Umkehrfunktion y=√x für x<0 eine andere.

a) bring die rechte Seite erst auf den Hauptnenner, multipliziere damit für x≠3. löse nach x auf,

b)  ln bilden, dann für x>0 auflösen

c)ln(y-1) bilden , nach x auflösen.

Kontrolle, lass dir die Funktionen platten, spiegle sie dann an der Geraden y=x, dann siehst du etwa bei b, dass das nur für x>0 wieder eine Funktion ist.

Comments

Könnten Sie mir die Aufgaben vorrechnen, ich krieg es irgendwie nicht hin.

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bei a) habe ich für x = -3y-1/1-y raus

stimmt das?

Answer 2

Aloha :)

a) Ich würde die Funktion zunächst etwas umformen:$$y=\frac{x+1}{x-3}=\frac{x-3+4}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{4}{x-3}=1+\frac{4}{x-3}\ne1$$Wir stellen fest, dass \(y\ne1\) ist. Das behalten wir für die Umformung und das Ergebnis im Hinterkopf:

$$\left.y=1+\frac{4}{x-3}\quad\right|\;-1$$$$\left.y-1=\frac{4}{x-3}\quad\right|\;\text{Kehrwert auf beiden Seiten}$$$$\left.\frac{1}{y-1}=\frac{x-3}{4}\quad\right|\;\cdot4$$$$\left.\frac{4}{y-1}=x-3\quad\right|\;+3$$$$\left.\frac{4}{y-1}+3=x\quad\right.$$Da wir oben festgestellt haben, dass \(y\ne1\) ist, divdieren wir in keinem Fall durch \(0\). Jetzt noch \(x\) und \(y\) vertauschen und wir sind hier fertig:$$y=\frac{4}{x-1}+3$$

c) Da die \(e\)-Funktion immer \(>0\) ist, muss \(y>1\) sein. Das merken wir uns und bilden die Umkehrfunktion:

$$\left.y=1+e^{0,5x+3}\quad\right|\;-1$$$$\left.y-1=e^{0,5x+3}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$Da \(y>1\) ist \(y-1>0\), sodass wir die \(\ln\)-Funktion darauf wirken lassen können:$$\left.\ln(y-1)=0,5x+3\quad\right|\;-3$$$$\left.\ln(y-1)-3=0,5x\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.2\ln(y-1)-6=x\quad\right.$$Am Ende noch \(x\) und \(y\) vertauschen:$$y=2\ln(x-1)-6$$

Comments

vielen dank! Also sind als drei Funktionen umkehrbar, oder? Wie gebe ich den größtmöglichen Definitions und Wertebereich an?

Mit freundlichen Grüßen

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Für D und W kannst du auch die Graphen benutzen. Du musst aber zwingend den exakten Fragetext beachten. Gelegentlich muss man die Bereiche unterschiedlich wählen.

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Bei der (a) gilt für Defintons- und Wertebereiche:$$f:\,\mathbb R\setminus\{3\}\to\mathbb R\setminus\{1\}\quad;\quad f^{-1}:\,\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R\setminus\{3\}$$

Bei der (b) gilt für Defintons- und Wertebereiche:$$f:\,\mathbb R^{\ge1}\quad;\quad f^{-1}:\,\mathbb R^{\ge1}\to\mathbb R^{\pm}\cup\{0\}$$Du musst dich beim Wertebereich der Umkehrfunktion zwischen den positiven und den negativen reellen Zahlen entscheiden. Die genaue Rechnung dazu von mir ist hierhin verschoben worden:

https://www.mathelounge.de/731044/wie-stelle-ich-die-funktion-nach-x-um

Bei der (c) gilt für Defintons- und Wertebereiche:$$f:\,\mathbb R\to\mathbb R^{>1}\quad;\quad f^{-1}:\,\mathbb R^{>1}\to\mathbb R$$

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@Tschaka: So weit werden Rechnungen nicht verschoben. Da wurde die gleiche Frage mehrfach gestellt.

Answer 3

Ich ergänzte bei a) die Klammern so, dass auch die Rechnung von Tschaka passt :)

a) y=x+1/x-3 ist gemeint als a) y= (x+1) / (x-3)

Beachte: Punkt- vor Strichrechnung und setze Klammern am besten schon selbst.

~plot~ x+1/x-3;(x+1)/(x-3) ~plot~

Das sieht unterschiedlich aus. Du kannst hier graphisch schon erkennen, welche der Funktionen umkehrbar ist und welche nicht.

Text erkannt:

Gib deine Funktionen mit Semikolon getrennt ein (Tutorial unten):
\( f(x)=x+1 / x-3 ;(x+1) /(x-3) \)
\( f_{1}(x)=x+1 / x-3 \quad f_{2}(x)=(x+1) /(x-3) \)

Einbettcode für Mathelounge.de:

Comments

Vielen dank für die Antwort.

Wie würde ich erkennen, ob die Funktion umkehrbar ist, ohne dass ich den Graphen betrachte? Wie gebe ich den Definitions - und Wertebereich der Aufgaben an? Das habe ich leider nicht ganz verstanden.

Ist das Ergebnis von Tschaka nun falsch? Es kommt doch dasselbe raus, mit oder ohne Klammern. Man müsste also nur die Klammern zugeben, das Ergebnis ist dennoch richtig, oder?

Mit freundlichen  Grüßen

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Klammern sind wichtig. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%2B1%2Fx-3%3B%28x%2B1%29%2F%28x-3%29+

Du (Merkus) hattest sie vermutlich mitgemeint. Das darfst du aber nicht.

Answer 4

Klammern sind wichtig. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%2B1%2Fx-3%3B%28x%2B1%29%2F%28x-3%29+

Hier die Version mit Klammern

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B1%29%2F%28x-3%29+

Text erkannt:

Properties as a real function:
Domain
\( |x \in R: x \neq 3| \)
Range
\( \{y \in \mathbb{R}: y \neq 1\} \)
Injectivity

 

Du darfst x=3 nicht einsetzen, weil du nicht durch 0 dividieren darfst. Daher ist das im Definitionsbereich (Domain) ausgeschlossen.

Zum Wertebereich: Du siehst an der Verschiebung der Hyperbel, dass der Wert y = 1 nicht angenommen wird. Daher gehört der nicht zum Wertebereich (Range).