Wann ist der Maximalwert erreicht.? f(t)= (12-2,4t) * e^-0,2t

Question

Hallo :)

Es geht um die Änderungsrate Wirkstoffkonzentration eines Medikamentes im Körper (t in Stunden; f(t) in mg/l; t ≥ 0) Zum Zeitpunkt t=0 beträgt die Wirkstoffkonzentration 0mg/l

f(t)=(12-2,4t)*e^-0,2t

Wie berechne ich den Maximalwert.? 

(Ich habe es vergessen :'( )

Bei der ersten Ableitung kommt bei mir f'(x)= -2,6e^-0,2t raus, ist das Richtig.?!

Danke

Comments

Stimmt deine Formel ?

f(t)=(12-2,4t)*e^-0,2t

weil

f ( 0 ) = 12

Dies ist der Maximalwert. Danach wird die Konzentration geringer.

Answer 1

Vergleiche unten!

um die lokalen Extremwerte zu berechnen kannst du die 1.Ableitung = 0 setzen und prüfen, pb sie dort das Vorzeichen wechselt  (VZW + → -  ergibt Maximum)

Für die Ableitung brauchst du die Produktregel [ u • v ] ' = u' • v + u • v'

→  f '(x) = 12/25 ·e^-0,5t · (t - 10)  = 0  →  t = 10  mit  VZW - → +  (Minimum) 

f(0) = 12  und lim_x→∞ f(x) = 0  →  Maximum 12 mg/l  zur Zeit t = 0

Zum Zeitpunkt t=0 beträgt die Wirkstoffkonzentration 0mg/l

ist also nicht richtig!

Edit:

Ich denke jetzt, das  f(t) nicht die Konzentration sein soll, sondern deren Änderungsrate, also die Ableitung der eigentlichen Funktion. Die Funktion der Wirkstoffkonzentration wäre dann deren Stammfunktion:

F(t) = 12·t·e^-0.5t + c  mit F(0) = 0 → c = 0

also F(t) = 12 • t • e^-0.5t

F ' (t) = f(t) = f(t)=(12-2,4t)*e^-0,2t = 0 →  12-2,4t = 0 → t = 5 mit Vorzeichenwechsel + → -

F(5) = ≈  22.073 mg/l  nach 5 Stunden.

Gruß Wolfgang

Comments

Ich soll den Zeitpunkt (t≥0) berechnen, wann die Wirkstoffkonzentration ihren Maximalwert erreicht.

und das die Wirkstoffkonzentration 0mg/l bei t=0 ist, steht als Hilfestellung im Mathebuch.

Die Antwort vor dieser bekam als Ableitung heraus:  f ' (t) = ( 0,48*t - 4,8 ) * e ^-0,2*t  

das ist das selbe, wie f '(x) = 12/25 ·e^-1,5t · (t - 10) .???

Oh, ich komme mir so dumm vor...

LG

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Sorry, habe mich bei der Antwort in der Hochzahl vertippt der e-Funktion vertippt!  (e^-0,5t ist richtig)

Werde die Antwort korrigieren. 

Ja, f '(x) = 12/25 ·e^-0,5t · (t - 10)  und   f ' (t) = ( 0,48*t - 4,8 ) * e ^-0,2*t   ist das gleiche.

Ich denke jetzt, das  f(t) nicht die Konzentration sein soll, sondern deren Anderungsrate, also die Ableitung der eigentlichen Funktion. Die Funktion der Wirkstoffkonzentration wäre dann deren Stammfunktion:

F(t) = 12·t·e^-0.5t + c  mit F(0) = 0 → c = 0

also F(t) = 12 • t • e^-0.5t

F ' (t) = f(t) = f(t)=(12-2,4t)*e^-0,2t = 0 →  12-2,4t = 0 → t = 5 mit Vorzeichenwechsel + → -

F(5) = ≈  22.073 mg/l  nach 5 Stunden.

Habe das in die Antwort eingebunden.

Answer 2

Ich bekomme f ' (t) = ( 0,48*t - 4,8 ) * e ^-0,2*t  

Hast du an die Produktregel gedacht ???

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Eigentlich schon... Anscheint muss ich noch mehr Üben

Danke, Vielleicht bekomme ich es jetzt allein raus. 

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wenn das f die Änderungsrate ist, dann ist die Wirkstoffkonzentration

ja eine Stammfunktion von f, also etwa

F(t) = 12*t*e ^-0,2*t + C   und wegen Konzentration bei t=0 ist 0

( das war kein Tipp sondern eine notwendige Information.)

ist die Wirkstoffkonzentration zum Zeitpunkt t gleich F(t) = 12*t*e ^-0,2*t

und das Maximum hast du dann bei f(t) =0 also

12 - 2,4 * t = 0  

t = 5