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Aufgabe:

Berechnen Sie den Hochpunkt der Scharkurve:

h(t)=10*e^(0,4t-0,5kt^2)


Problem/Ansatz:

h‘(t)=0,4-kt*10e^(0,4t-0,5kt^2)=0

10t*e^(0,4t-0,5t^2)=0,4/k


Weiter komme ich nicht :( zumal als Lsg heraus kommt: H(0,4/k ; 10e^(0,08/k)

D.h theoretisch steht bei mir schon die Lsg, obwohl ich noch nicht nach t aufgelöst habe...

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Zum einen hast du beim Ableiten offenbar irgendwelche Klammern vergessen und zum anderen enthält die Funktion h(t) überhaupt keinen Scharparameter. Könntest du bei Gelegenheit diese Punkte berichtigen?

Ich habe ein \(k\) in \(h(t)\) ergänzt. Das hast du anscheinend vergessen, es lässt sich aber aus den folgenden Angaben schließen, dass dort fast sicher eins stehen muss.

2 Antworten

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Aloha :)

$$h(t)=10e^{0,4t-0,5kt^2}$$$$0\stackrel{!}{=}h'(t)=\underbrace{10e^{0,4t-0,5kt^2}}_{>0}\cdot\left(0,4-kt\right)$$Da die e-Funktion immer \(>0\) ist, kann \(h'(t)\) nur dort Null werden, wo auch die innere Ableitung \((0,4-kt)\) zu Null wird. Für \(k=0\) wird diese Klammer nie \(0\), das heißt \(h'_{k=0}(t)>0\). Für \(k=0\) gibt es also kein Extremum. Für alle anderen Werte \(k\ne0\) liegt das Extremum bei:$$t=\frac{0,4}{k}\quad;\quad k\ne0$$Bei solchen Schar-Funktionen muss man fast immer irgendwelche Sonderfälle betrachten. In deinem Fall hier ist es der Sonderfall \(k=0\).

Avatar von 152 k 🚀
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Ich meine du hast den letzten Schritt noch nicht gemacht.
Es gibt nicht nur einen Hochpunkt sondern unendlich
viele. Für jedes k  : 1 Hochpunkt.
Die Funktion der Hochpunkte ist die sogenannte Ortskurve.
t = 0.4/k

eingesetzt in
h(t)=10*e^(0,4t-0,5kt^2)
h ( k ) = 10 * e ^(0.08/k)

Umformen
k = 1/ t
einsetzen
h ( t ) = 10 * e^(0.2*t )

ort ( t ) = 10 * e^(0.2*t )

blau : k = 1
rot : k = 4
grün : ortskurve

gm-70.JPG

Avatar von 123 k 🚀

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