Hochpunkt und Nullstellen einer Kurvenschar berechnen

Question

Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=-(1/a)(x^2-(a+2)x+(a+1)); a>0

a)Nun soll gezeigt werden dass die Schar fa den Hochpunkt H ((a+2)/2 , (a/4) besitzt.
b) Außerdem soll gezeigt werden dass die Funktion fa die Nullstellen x=1 und x=a+1 besitzt.
Ich habe mehrere Ansötze probiert, weiß jedoch nicht, wie ich die Gleichungen auflösen kann.

Comments

Ein möglicher Ansatz wäre die quadratische Ergänzung:
\(\large f_a(x)=-\frac1a\left(x-\frac{a+2}2\right)^{\!2}+\frac a4\).

Answer 1

Hallo HI,

 f_a(x) = -(1/a) ·( x² - (a+2)·x + ( a+1) )      ;  a>0

a)  

f_a "(x)  =  - (2·x - a - 2) / a  = 0   ⇔   x = (a + 2) / 2   

f_a "(x)  =  -2 / a  <  0  →   Maximalstelle  

      x = (a + 2) / 2   in die Funktionsgleichung einsetzen.

      f_a (  (a + 2) / 2 )  =  -(1/a) · ( 1/4 · (a+2)² - 1/2 (a+2)² + a + 1 )

                               =  -(1/a) · ( -1/4 * (a+2)² + a + 1  =  -(1/a) · ( -1/4 · (a² + 4a + 4) + a + 1 ) 

                               =  -(1/a) · ( -1/4 a² -  a - 1  +  a + 1) =   a/4   

                            →   H(  (a + 2)/2 | a/4  ) 

b)

-(1/a) ·( x² - (a+2)·x + ( a+1) )  = 0   |  * (-a) 

          x² - (a+2)·x + ( a+1) = 0 

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = - (a+2)   ; q = a+1

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\) 

    = 1/2 * (a + 2)  ±  √( 1/4 (a+2)² - a -1 )  =  1/2 * (a + 2)  ±  √( 1/4 a² + a + 1 - a - 1)

    =  a/2 + 1 ±  a/2

x₁ =  a + 1   ;   x₂  =  1

Gruß Wolfgang