Aufgabe zur Ableitung von f(x) =g(x)^h(x) + meine Lösungen

Question

ich bin mir bei einer Aufgabe nicht ganz sicher und würde gerne eure Meinung hören.

"Seien die reellen Funktionen g, h auf ihren maximalen Definitionsbereich differenzierbar und auf ihren maximalen Definitionsbereich existieren keine x, so dass f(x) = g(x) = 0 (Ich glaube anstatt f(x) müsste h(x) stehe, ist wahrscheinlich ein Tippfehler in der Aufgabe). Wie lauten die Ableitungen der folgenden reellen Funktion f(x) = g(x) ^h(x) , die jeweils auf ihren maximalen Definitionsbereich definiert sei? Bemerkung: Untersuchen Sie die Ableitung von f(x) in den Fällen g(x) > 0, g(x) = 0 und g(x) < 0. "

Muss ich die Aufgabe folgendermaßen lösen?:

Im Fall g(x)>0:

f(x) = g(x)^h(x) = e^{h(x) * ln(g(x))}

f'(x) = e ^{h(x) * ln (g(x))} *(h'(x)*ln(g(x))+h(x)*(1/g(x))*g'(x))

Im Fall g(x) = 0:

f(x) = 0^h(x)

f'(x) = 0

Im Fall g(x)<0:

f(x) = -g(x)^h(x) = e^{h(x) * -(ln(g(x)))}

f'(x) = e ^{h(x) *-( ln (g(x)))*} (h'(x)*-(ln(g(x)))+h(x)*-(1/g(x))*-(g'(x)))

Ist das so richtig und wäre ich dann mit der Aufgabe fertig?

Answer 1

> Im Fall g(x)<0: f(x) = -g(x)^h(x)

Wo kommt denn auf ein mal das Minuszeichen her? In der Aufgabenstellung steht doch deutlich f(x) = g(x)^h(x). Da darf man nicht einfach so ein Minuszeichen hinzuschummeln.

Die anderen Fälle sehen gut aus.

Für den Fall g(x) < 0: Stell dr vor wie er Funktionsgraph von s(x) = (-2)^x verlaufen würde. Was wäre zum Beispiel s(2/6)?

Comments

Also g(x) < 0 ist einfach der Funktionsgraph für den Fall g(x) > 0, jedoch gespiegelt zur X-Achse?

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Potenzen mit rationalen Exponenten sind nur für positive Basen definiert. Sonst bekommt man das Problem, dass s(2/6) = (-2)^2/6 = ⁶√((-2)²) = ⁶√(4) > 0 aber s(1/3) = (-2)^1/3 = (-³√2)¹ < 0 ist. Obwohl 2/6 = 1/3 ist.

Im Falle g(x) < 0 ist also f(x) nur dann definiert, wenn h(x) eine natürliche Zahl ist. f'(x) ist also nur dann definiert, wenn h in einer Umgebung um x eine konstante natürliche Zahl ist. Bei f(x) handelt es sich also um Abschnitte unterschiedlicher Potenzfunktionen. Demnach ist f'(x) = h(x)·g(x)^h(x)-1·g'(x) dort wo h in einer Umgebung von x eine konstante natürliche Zahl ist. In anderen Fällen ist f'(x) nicht definiert.

> Also g(x) < 0 ist einfach der Funktionsgraph ...

g(x) < 0 ist kein Funktionsgraph. g(x) < 0 ist eine Ungleichung.

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Wieso dürfen aber im falle f(x) keine ganzen Zahlen (also negative Werte) für h(x) verwendet werden? Wir hätten dann doch einfach noch 1/(g(x)^h(x) als Option. Sie wäre ja trotzdem noch auf ihren maximalen Definitionsbereich definiert. Und wieso darf man bei f'(x) nur Konstante Werte einfügen? Die differenzierten Werten von h(x) sind ja weiterhin natürliche Zahlen.

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> Wieso dürfen aber im falle f(x) keine ganzen Zahlen (also negative Werte) für h(x) verwendet werden?

OK, ganze Zahlen gehen auch noch. Dann ist aber definitv Schluss :)

> Und wieso darf man bei f'(x) nur Konstante Werte einfügen?

Ich weiß nicht was du damit meinst.

Ich meine zum Beispiel folgendes:

Angenommen 3 liegt im Definitionsbereich von h und von g.

Weiter angenommen h(3) = 2/7 und g(3) = -4. Dann wäre f(3) = (-4)^2/7, was nicht definiert ist.

Damit f(3) definiert ist muss h(3) eine ganze Zahl sein, zum Beispiel h(3) = 5.

Laut Voraussetzung ist h(x) bei x=3 differenzierbar. Also ist h(x) in einer Umgebung um x=3 stetig. Dass heißt es gibt ein δ > 0, so dass wenn x₀ aus der Umgebung (3-δ; 3+δ) ist, auch h(x₀) in der Umgebung (h(3)-1/2; h(3)+1/2) ist.

Damit f(x) bei x=3 differenzierbar ist, muss h(x) auf der ganzen Umgebung (3-δ; 3+δ) ganzzahlig sein. In dem Intervall (h(3)-1/2; h(3)+1/2) liegt aber nur eine einzige ganze Zahl, nämlich 5. Also muss h(x) = 5 für jedes x aus dem Intervall (3-δ; 3+δ) sein. Also muss h(x) auf dem Intervall (3-δ; 3+δ) konstant sein.

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Vielen dank für die Antwort!

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@oswald:  "Demnach ist f'(x) = h(x)·g(x)^h(x)-1·g'(x) dort wo h in einer Umgebung von x eine konstante natürliche Zahl ist"

Kann man die Ableitung wirklich so hinschreiben? Ich meine das sind ja zwei Funktionen, die beide ein x enthalten. Im Fall g(x) >0 hat der Fragesteller ja auch nicht f'(x) = h(x)·g(x)^h(x)-1·g'(x), sondern f'(x) = e ^{h(x) * ln (g(x))} *(h'(x)*ln(g(x))+h(x)*(1/g(x))*g'(x)) hingeschrieben. Außerdem frage ich mich, ob man nicht viel eher die Funktion f(x) im Fall g(x) <0 in verschiedene Teilfunktionen aufteilen und dann jeweils die Ableitungen der jeweiligen Teilfunktionen bilden sollte. Wäre sehr nett, wenn du mir diese Frage auch noch beantworten könntest.

Grüße