Umkehrfunktion von y = √(4-ln(x-3)) richtig gebildet?

Question

gesucht ist von folgender Funktion die Umkehrfunktion:

y = √(4-ln(x-3))

Mein Rechenweg:

x = √(4-ln(y-3)) | ()^2

x^2 = 4-ln(y-3) | + ln(y-3)

x^2 + ln(y-3) = 4 | -x^2

ln(y-3) = 4-x^2 | e⁽⁾

y-3 = e^{4-x^2} | +3

y = e^{4-x^2} +3

Ist diese Lösung korrekt?

Wolframalpha spuckt leider ein etwas anderes Ergebnis aus, und bei Geogebra kann ich nur erahnen ob meine Lösung richtig ist.

Comments

Eigentlich gehört zu Funktionen und Umkehrfunktionen immer noch ein Definitionsbereich (und Wertebereich) dazu.

Es kann nicht schaden, diese hier zu bestimmen, da offensichtlich die Funktion schon nicht für jedes x definiert ist. (im Reellen) .

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+for+x+(y+%3D+√(4-ln(x-3)))

Wolframalpha geht über die komplexen Zahlen, kommt aber zum Schluss bei "Solution over the reals" genau zu deinem Ergebnis. Zusatzforderung: y≥0 . Also nach Umbenennung x≥0.

Kontrolliere aber noch, ob das die einzige Einschränkung für D der Umkehrfunktion ist.

Answer 1

y = √(4 - LN(x - 3))

y^2 = 4 - LN(x - 3)

LN(x - 3) = 4 - y^2

x - 3 = e^{4 - y^2}

x = e^{4 - y^2} + 3

nun x und y tauschen

y = e^{4 - x^2} + 3

Ist also alles richtig.

Answer 2

ich habe das auch erhalten: