zz. das polynom(A) = B

Question

Liebe Community!

Ich sitze ganz verzweifelt an einer Aufgabe und bitte um Hinweise wie ich diese Aufgabe angehen soll.

" Sei K ein Körper. Die Ableitung eines Polynoms p(x) = a₀ + a₁x + ... +a_nxⁿ ∈ K_[x] ist definiert als

p'(x):= a₁ + 2a₂x + ... + na_nx^n-1.

Zeige, dass für jedes Polynom p(x) ∈ K_[x] gilt:  p ([x ,1 ; 0 , x])  = [p(x), p'(x) ; 0, p(x)]

(; steht für neue Zeile in der Matrix)

"

Kann mir bitte wer eine nötige Idee geben wie ich das beginnen soll?

Glg

Answer 1

Hi,
für die Matrix $$ A = \begin{pmatrix}  x & 1 \\ 0 & x \end{pmatrix}  $$ gilt
$$ A^k = \begin{pmatrix}  x^k & k \cdot x^{k-1} \\ 0 & x^k \end{pmatrix} $$ wie man mit Induktion beweisen kann.
Also gilt
$$ p(A) = \sum_{k=0}^n a_k \cdot A^k = \sum_{k=0}^n a_k \cdot \begin{pmatrix}  x^k & k \cdot x^{k-1} \\ 0 & x^k \end{pmatrix} $$ Also gilt
$$ p(A) = \begin{pmatrix}  \sum_{k=0}^n a_k x^k & \sum_{k=0}^n k a_k x^{k-1} \\ 0 & \sum_{k=0}^n a_k x^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  p(x) & p'(x) \\ 0 & p(x) \end{pmatrix} $$