Abstand, Fläche berechnen (Vektoren, Geraden)

Question

ich schreibe bald eine Klausur nach und muss wissen, wie man etwas berechnet. Könnte vielleicht jemand es mir kurz erklären?

1. Abstand des Punktes P von der Geraden g berechnen:  g:  Vektor x= (0|-1|1) + k*(2|1|0) und Punkt P (4|1|1)

2. Parallelität zeigen also zeigen, dass z.B die Geraden g und h parallel zueinander sind und den Abstand berechnen: g: Vektor x (3|-1|5) + k*(2|-3|-1) und h: Vektor x (3|1|0) + p*(-4|6|2)

3. Und den Flächeninhalt bestimmen des Dreiecks ABC durch Einsetzen in die Formeln: A(-1|2|0); B(1|2|4); C(-1|-3|5)

Answer 1

1) 

 Info mit Beispiel findest du hier:

https://de.serlo.org/mathe/geometrie/analytische-geometrie/abstaende-winkel/abstaende/abstand-punktes-einer-geraden-berechnen-analytische-geometrie

oder als Video:

https://www.youtube.com/watch?v=ufzRqWEC9F0

2)  

g || h sind parallel, weil der Richtungsvektor \(\vec{u_h}\) = -2 • \(\vec{u_g}\) ist  (Vielfaches)

Jetzt musst du nur noch den Abstand des Punktes P(3|-1|5) ∈ g von der Geraden h berechnen (wie in 1):   d(P,h) = d(g,h)

3)

A_Δ = 1/2 • | \(\overrightarrow{AB}\) x \(\overrightarrow{AC}\) | = 1/2 • |(\(\vec{b}\)-\(\vec{a}\)) x (\(\vec{c}\)-\(\vec{a}\))|  

(\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) haben die Koordinaten der entsprechenden Punkte.)

Info Kreuzprodukt von Vektoren hier:

https://www.youtube.com/watch?v=FHRL8AirN8w

Formel: |\(\vec{v}\)| = \(\sqrt[]{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)

Gruß Wolfgang