Parabel Flächen berechnen horizontale c

Question

Das ist meine zweite Frage am heutigen Abend. Ich hoffe es ist nicht eine zuviel:) Bei der folgenden Aufgabe habe ich Teil a) erledigt, meine Schätzung beträgt c=2,25. Bei b),c) komme ich nicht weiter:

Answer 1

Hi!

Schnittpunkte von y=x²   und y=4

->   x² =4    √

     x=±2

Fläche zwischen x² und 4:

2*∫₀² 4-x² dx= 32/3

Die Hälfte davon ist:

16/3

Es muss also gelten:

∫-√c ^{Wurzel c}    c- x²   dx= 16/3

Stammfunktion:

cx -1/3*x³

-> F(√c) -F(-√c)=16/3  =c√c  -  1/3* (√c)³  -(-c√c +1/3*c√c)

                       ->16/3 =2*c√c  -2/3*c√c

                       -> 16/3 = 4/3*c√c          |:4/3

                       -> 4 = c√c                      |^2/3   hoch 2/3

                       ->2,5198421 =c

~plot~ x^2;4;2,5198421 ;[[-4 | 4| -0,5 | 4,02 ]] ~plot~

Answer 2

 

b) Integration bzgl. y:

der Integrand ist die Umkehrfunktion x = √y  zu  y = x²

₀∫^c √y dy = 1/2) • ₀∫⁴ √y dy  

[ 2/3 y^3/2 ]₀^c  = 1/2 • [ 2/3 y^3/2 ]₀⁴

2/3 • c^3/2 = 1/3 • 4^3/2

c = (1/2 • 4^3/2)^2/3 ≈ 2,519842099

Gruß Wolfgang