Inhomogene lineare DGL erster Ordnung

Question

Die Aufgabe ist folgende:

Lösung finden von y´=-exp(x)*y + exp(2x) mit y(0)=1

Mein Ansatz:

1) Bestimme die Lösung der homogenen Dgl

$$ {y}_{hom} = C * e^{(\int -e^x)} = C*e^{-e^x} $$

2) Bestimme eine spezifische Lösung der inhomogenen DGL

$$  y_{spez}= C(x) *e^{-e^x}  $$

$$ C´(x) e^{-e^x}+C(x)-e^{x}e^{-e^x}=-e^xy+e^{2x} $$

$$ \rightarrow C´(x)= e^{2x+e^x} \rightarrow C(x) = (e^x-1)e^{e^x}$$

$$ y = {y}_{hom}+ y_{spez} \rightarrow y= Ce^{-e^x}+ e^{-e^x}e^{e^x}(e^x-1) \rightarrow y = C e^{-e^x} + e^x-1$$

3) An die Anfangsbedingung anpassen

$$y(0)=1=C*e^{-e^0}+e^0-1 \rightarrow C= \frac{1}{e}$$

Ist das richtig so? Mir kommt es irgendwie spanisch vor. Der Durchblick bei dem was ich mache fehlt noch. Das war nichts weiter als stupide die Vorschrift runterjagen...

Answer 1

da die zulässigen Konstanten bei der allgemeinen Lösung einer DGL eine wichtige Rolle spielen, sollte man bei der Bestimmung Lösung sorgfältig damit umgehen.

Lösung des homogenen Systems:

y '  =  y • f(x)   →   dy/dx = y • f(x)   →  1/y · dy  = f(x) · dx    [ y ≠ 0, vgl. unten #]

F(x) sei die Stammfunktion von f mit der Integrationskonstanten 0:

∫ 1/y · dy =  ∫ f(x) · dx = F(x) + c1   mit  c1  ∈ ℝ

→  ln(|y|) = F(x) + c₁  →  |y| = e^F(x)+c1  →  y = ± e^c1• e^F(x)     [ e^m+n = e^m • eⁿ ] 

→  y = c2 • e^F(x)  [ c2 := ± e^c1 ∈ ℝ \ {0}, weil die e-Funktion die Bildmenge ℝ⁺ hat ]    

# Die berechneten Funktionen haben keine Nullstellen.

Da auch die konstante Funktion  y = 0 - wie man durch Einsetzen in die DGL leicht sieht -  eine Lösung der DGL ist, gilt:

Allgemeine Lösung der DGL:  y = c • e^F(x)  mit c∈ℝ  

Hier also:  y_h = c • e^{-e^x}   mit c∈ℝ 

Gruß Wolfgang

Answer 2

mach doch einfach die Probe:

Du hast y =  (1/e) * exp( - exp(x)) + exp(x) - 1

jedenfalls stimmt y(0)=1

Dann bilde y ' =   (1/e) * exp( - exp(x))* (-exp(x)) + exp(x) 

                      = -  (1/e) * exp( - exp(x) + x )) + exp(x)  #

und vergleiche mit -exp(x) * y + exp(2x)

= -exp(x) * (   (1/e) * exp( - exp(x)) + exp(x) - 1) + exp ( 2x)

=   - (1/e) *exp( x - exp(x) )  - exp(x)^2   + exp (x) + exp ( 2x)

= - (1/e) *exp( x - exp(x) )     + exp (x)   ##

# und ## stimmen überein, der Anfagswert stimmt auch:

Bravo, du hast alle Rezepte richtig benutzt.

Comments

Danke für die schnelle Antwort :)

Answer 3

Meine Berechnungen:

 

Comments

Und wieder einmal wären nach deiner Lösung für  C nur positive Werte zulässig,weil nun einmal e^C > 0 gilt.

(vgl. meine Antwort)

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Diese Lösung ist richtig .

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Das Ergebnis ja, aber der Lösungsweg ist unvollständig!

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Ich sehe das anders.

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Wenn jemand  e^C > 0 anders sieht, sei es ihm gegönnt.

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