Zeige, dass eine Polynomialfunktion min. n - 1 NST und höchstens n NST hat

Question

kann mir bitte bei der Aufgabe jemand weiterhelfen?

a) Es sei f: ℝ→ℝ eine beliebig oft differenzierbare Funktion und a₁ < a₂ < ... < a_n 
seien die Nullstellen von f.

Zeigen Sie, dass die Ableitung f ' mindestens n - 1 Nullstellen hat.

b) Wenden Sie das Ergebnis von Punkt a) an, um zu zeigen, dass eine Polynomialfunktion n-ten Grades, d.h.

f: ℝ→ℝ, f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + . . . +   a₁x + a₀ mit a_n ≠ 0,

höchstens n verschiedene reelle Nullstellen hat.

Answer 1

a) Mittelwertsatz

b) Polinomialfunktionen vom Grad 0 haben keine Nullstellen. Hätte eine Polynomialfunktion vom Grad 1 mehr als eine Nullstelle, dann müsste die Ableitung dieser Funktion (welche ja dann eine Polinomialfunktionen vom Grad 0 ist) laut a) mindestens eine Nullstelle haben. Weiter geht es mit vollständiger Induktion.