betrachte die differenzialgleichung y´= -x/y ,(x; y) aus U := R x ]0;1[

Question

2. Betrachten Sie die Di erentialgleichung
y´ = -x/y
; (x; y) ausU := R x ]0;1[ :

(a)  Erfullt die Di erentialgleichung die Voraussetzungen des Satzes von
Picard-Lindelof?

(b)  Bestimmen Sie die Losungsgesamtheit der Di erentialgleichung. Geben
Sie dabei fur jede Losung ihren maximalen De nitionsbereich an.

Answer 1

zu a) 

Wenn ich das richtig sehe, dann gilt:

Für  I,J ⊂ ℝ  ,  g: I → ℝ   stetig  und  h: J → ℝ  stetig differenzierbar erfüllt jede DGL y' = g(x) • h(y) mit getrennten Variablen diese Voraussetzungen.

vgl. Satz DG.6 und Satz DG.12 in

http://www.math.uni-konstanz.de/~stoss/mathphys-DG.pdf

zu b)

Da für (x,y) ∈ ℝ x  ]0 ; 1[

 y = √(-x² + c) mit D_y =  ] - √c ; √c [            für c ∈ ]0 ; 1]   

                                     ] -√(c-1) ; √( c-1) [  für c ∈ ] 1 ; ∞ [ 

offensichtlich für (x₀|y₀) ∈ D_y x ]0,1[ genau eine Lösung der DGL hergibt, sollte dies nach dem Satz von Picard -Lindelöf die allgemeine Lösung  der DGL sein.  

Man kann die allgemeine Lösung der DGL aber auch direkt berechnen:

y' = -x / y , also  dy/dx = -x/y)   mit  (x,y) ∈ ℝ x ]0;1[

Trennung der Variablen:    y dy = -x dx

  ∫ y dy = ∫ x dx

1/2 y² = -1/2 x² + c₁     mit c₁ ∈ ℝ

y² = - x² + c₂                 mit c₂ := 2c₁ ∈ ℝ

Die Gleichung ist nur für c₂ > 0  erfüllbar  ( y ∈ ]0;1[ )

y = √( - x² + c )                  mit c ∈ ℝ⁺     [  |y| = y ≠ 0 wegen y ∈ ]0;1[ [

für die verschiedenen c ergeben sich aber unterschiedliche Definitionsmengen ⊂ ℝ für y:

0 < √( - x² + c )  < 1

0 < -x² + c < 1      | + x²

x² < c   und  x² > c-1

1. Fall: c ∈ ]0 ; 1]       y = √( - x² + c )     mit  D_y = ] - √c ; √c [

2. Fall: c ∈ ]1 ; ∞ [     y = √( - x² + c )      mit D_y = ] - √(c-1) ; √( c-1) [

Gruß Wolfgang