bestimme die homogene Lösung und danach die partikuläre über Ansatz der rechten Seite.
y''+2y'-8y = 0
Chark. Polynom
λ^2+2λ-8 = 0 |pq-Formel
λ1 = -4
λ2 = 2
Homogene Lösung kann also zu
y = c*e^{-4x} + d*e^{2x}
bestimmt werden.
Partikuläre Lösung fordert den allgemeinen rechte Seite Ansatz:
ypallgm. = a*e^{2x}
Da Resonanz vorliegt, brauchts noch en x.
yp = ax*e^{2x}
Ableitungen bestimmen und dann einsetzen:
y' = a*e^{2x} + ax*2*e^{2x}
y'' = 2a*e^{2x} + 2a*e^{2x} + 2ax*2*e^{2x} = 4a*e^{2x} + 4ax*e^{2x}
--> 4a*e^{2x} + 4ax*e^{2x} + 2(a*e^{2x} + ax*2*e^{2x}) - 8*axe^{2x} = 6e^{2x}
6ae^{2x} = 6e^{2x}
Koeffizientenvergleich:
6a = 6
--> a = 1
Also insgesamt:
y = c*e^{-4x} + d*e^{2x} + x*e^{2x}
Grüße