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Bestimmen Sie die Allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differenzialgleichung:

\( \ddot{y}+2 \dot{y}-8 y=6 e^{2 x} \)

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Ich könnte das so aus dem Stehgreif leider auch nicht. Aber ich wüsste mir zu helfen. Ich würde das Problem von Wolframalpha lösen lassen und würde schauen das ich das verstehe.

Daher habe ich jetzt es von Wolframalpha lösen lassen und würde dich bitten dich mit der Lösung zu beschäftigen.

Bild Mathematik

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Nach y umstellen

y( 1+2-8) = 6*e2x     | /-5

y= - 6/5  *e2x

Avatar von 40 k
Akelei, das hat gar nichts mit der Frage zu tun...

Sorry , die Punkte über den y sind auf meinen Bildschirm nicht eindeutig erkennbar.

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bestimme die homogene Lösung und danach die partikuläre über Ansatz der rechten Seite.


y''+2y'-8y = 0

Chark. Polynom

λ^2+2λ-8 = 0    |pq-Formel

λ1 = -4

λ2 = 2


Homogene Lösung kann also zu

y = c*e^{-4x} + d*e^{2x}

bestimmt werden.


Partikuläre Lösung fordert den allgemeinen rechte Seite Ansatz:

ypallgm. = a*e^{2x}

Da Resonanz vorliegt, brauchts noch en x.

yp = ax*e^{2x}

Ableitungen bestimmen und dann einsetzen:

y' = a*e^{2x} + ax*2*e^{2x}

y'' = 2a*e^{2x}     + 2a*e^{2x} + 2ax*2*e^{2x} = 4a*e^{2x} + 4ax*e^{2x}


--> 4a*e^{2x} + 4ax*e^{2x} + 2(a*e^{2x} + ax*2*e^{2x}) - 8*axe^{2x} = 6e^{2x}

6ae^{2x} = 6e^{2x}

Koeffizientenvergleich:

6a = 6

--> a = 1


Also insgesamt:

y = c*e^{-4x} + d*e^{2x} + x*e^{2x}


Grüße

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Homogene Lösung kann also zu 

y = c*e-4x + d*e2x

Wieso c und d ? kann man die konstanen frei wählen

Wieso c und d ? kann man die konstanen frei wählen?

Ja. Du suchst die allgemeine Lösung. Setze sie mit den Variabeln in die gegebene Gleichung ein. Du wirst sehen, dass alles schön aufgeht.

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