Allgemeine Lösung gewöhnliche Differenzialgleichung: ÿ + 2y^{.} - 8y = 6e^{2x}

Question

Bestimmen Sie die Allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differenzialgleichung:

\( \ddot{y}+2 \dot{y}-8 y=6 e^{2 x} \)

Answer 1

Ich könnte das so aus dem Stehgreif leider auch nicht. Aber ich wüsste mir zu helfen. Ich würde das Problem von Wolframalpha lösen lassen und würde schauen das ich das verstehe.

Daher habe ich jetzt es von Wolframalpha lösen lassen und würde dich bitten dich mit der Lösung zu beschäftigen.

Answer 2

Nach y umstellen

y( 1+2-8) = 6*e^2x     | /-5

y= - 6/5  *e^2x

Comments

Akelei, das hat gar nichts mit der Frage zu tun...

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Sorry , die Punkte über den y sind auf meinen Bildschirm nicht eindeutig erkennbar.

Answer 3

bestimme die homogene Lösung und danach die partikuläre über Ansatz der rechten Seite.

y''+2y'-8y = 0

Chark. Polynom

λ^2+2λ-8 = 0    |pq-Formel

λ₁ = -4

λ₂ = 2

Homogene Lösung kann also zu

y = c*e^{-4x} + d*e^{2x}

bestimmt werden.

Partikuläre Lösung fordert den allgemeinen rechte Seite Ansatz:

y_pallgm. = a*e^{2x}

Da Resonanz vorliegt, brauchts noch en x.

y_p = ax*e^{2x}

Ableitungen bestimmen und dann einsetzen:

y' = a*e^{2x} + ax*2*e^{2x}

y'' = 2a*e^{2x}     + 2a*e^{2x} + 2ax*2*e^{2x} = 4a*e^{2x} + 4ax*e^{2x}

--> 4a*e^{2x} + 4ax*e^{2x} + 2(a*e^{2x} + ax*2*e^{2x}) - 8*axe^{2x} = 6e^{2x}

6ae^{2x} = 6e^{2x}

Koeffizientenvergleich:

6a = 6

--> a = 1

Also insgesamt:

y = c*e^{-4x} + d*e^{2x} + x*e^{2x}

Grüße

Comments

Homogene Lösung kann also zu 

y = c*e^-4x + d*e^2x

^{Wieso c und d ? kann man die konstanen frei wählen}

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Wieso c und d ? kann man die konstanen frei wählen?

Ja. Du suchst die allgemeine Lösung. Setze sie mit den Variabeln in die gegebene Gleichung ein. Du wirst sehen, dass alles schön aufgeht.