allgemeine lösung DGL y" -5y´+4= 6x+sinx

Question

hallo

es geht umfolgende aufgabe:

allgemeine lösung DGL: y" -5y´+4= 6x+sinx

die nullstellen habe ich schon bestimmt: λ=4 und λ=1

yn= c₁ e^4x +c₂ e^x 

nun muss ich die part. lsg. bilden. Ich weiß nicht wie dort auf die funktion komme, ableiten würde ich selber schaffen, a und b ausrechnen schaffe ich auch wohl. ich brauche beim aufstellen der gleichung yp hilfe, danke :)

MFG

Answer 1

Denke in der Aufgabe heißt es +4y

Answer 2

y" -5y´+4= 6x+sinx 

<->y" -5y´= 6x-4+sinx 

homogene Gleichung:

y" -5y´=0

λ^2-5λ=0

--> λ=0, λ=5

-->y_hom=c₁*e^{5x}+c₂

Ansatz für partikuläre Lösung:

ax^2+bx+c+A*sin(x)+B*cos(x)

einsetzen in DGL:

2a-A*sin(x)-B*cos(x)-5*(2ax+b+A*cos(x)-B*sin(x))=6x-4+sin(x)

Koeffizientenvergleich:

-10*a=6 --> a=-3/5

2a-5*b=-4 --> b=14/25

-A+5*B=1

-B-5*A=0

--> A=-1/26. B=5/26

--> y(x)=c₁*e^{5x}+c₂ -3/5x^2+14/25x-sin(x)/26+5/26*cos(x)