Was ist die Halbwertszeit?

Question

Kann mir jemand die Halbwertszeit erklären zB: anhand dieses Beispiels:

Nikotin wird im menschlichen Körper mit einer Halbwertszeit von 60 Minuten abgebaut. 

Berechnen Sie den Zerfallsfaktor! 

Comments

Ganze Aufgabe schaut so aus Wer kennst sich hier aus? Ich verstehe gsr nichts

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Stell das Foto der Aufgabe einmal Format-
füllend ein.
So sehe ich nichts.
Am besten du stellst die Aufgabe mit Foto
nochmals ein.

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Text erkannt:

Abbau von Nikotin
Das Suchtmittel Nikotin ist in den Blättern der Tabakpflanze enthalten undist ëines der stärksten Pflanzengifte, das schon in einer Dosis von nur 50 mg für den Menschen tödlich sein kann. Bei geringeren Dosierungen, beispielsweise beim Rauchen, besteht keine unmittelbare Lebensgefahr. Dennoch sind die Auswirkungen auf unseren Körper weitreichend: z.B. lagern sich im Laufe der Jahre die Bestandteile des Rauches in der Lunge ab. Die Flimmerhärchen im Inneren der Lunge verkleben, was die Selbstreinigung der Atemwege beeinträchtigt. Die Bronchien verengen sich und reagieren mit Entzündungen, die sich zur chronischen Bronchitis entwickeln nunnen. allerdings nur kurz an, weil Nikotin relativ schnell exponentiell wieder abgebaut wird - vor allem durch Enzyme in der Leber, aber auch zusätzlich in Niere und Lunge. Die Halbwertszeit von Nikotin ist durch den Gewöhnungseffekt bei Rauchern und Nichtrauchern unterschiedich lang. Bei Rauchern beträgt sie rund 60 Minuten, bei Nichtrauchern dagegen bis zu drei Stunden.
a) Stelle das Zerfallsgesetz für Nikotin bei Rauchern in Minuten auf.
b) Wieviel Prozent des vorhandenen Nikotins werden pro Minute abgebaut?
Wieviel Prozent der ursprünglichen Menge sind nach 5h noch vorhanden?

Berechne nach welcher Zeit nur noch 23% der Anfangsmenge im Blut vorhanden ist.

d) Beim Rauchen einer Zigarette gelangen 1,5 {mg}  Nikotin ins Blut. Hr. N. raucht 3 Zigaretten im Abstand von je einer halben Stunde. Wieviel Nikotin befindet sich unmittelbar nach dem Rauchen der 3. Zigaretten im Körper?

Anschließend überlegt sich Hr. N. Wann er nur noch 1/8 der jetzigen Nikotinmenge im Blut hat.
Wie lange muss er warten?

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Die Halbwertzeit gibt an wann nur noch die
Hälfte der Ausgangsmenge vorhanden ist

m ( t ) = 0.5 ^t
m ( 0 ) = 1
m ( 1 ) = 0.5
m ( 2 ) = 0.25

Die Halbwertszeit von Nikotin ist durch den Gewöhnungseffekt bei Rauchern und Nichtrauchern unterschiedich lang. Bei Rauchern beträgt sie rund 60 Minuten, bei Nichtrauchern dagegen bis zu drei Stunden.

a) Stelle das Zerfallsgesetz für Nikotin bei Rauchern in Minuten auf.

m ( t ) = 0.5 ^(t/60)
m ( 60 ) = 0.5 ^(60/60) = 0.5

b) Wieviel Prozent des vorhandenen Nikotins werden pro Minute abgebaut?
Analog zur Zinsrechnung
m(0) - m(1) = 0.9885140204
0.0115
1.15 %

Wieviel Prozent der ursprünglichen Menge
sind nach 5h noch vorhanden?

5h = 300 min

m (300) = 0.5 ^(300/60) = 0.03125
3.125 %

Berechne nach welcher Zeit nur noch 23%
der Anfangsmenge im Blut vorhanden ist.

m ( t ) = 0.5 ^(t/60) = 0.23

d) Beim Rauchen einer Zigarette gelangen 1,5 {mg}  Nikotin ins Blut. Hr. N. raucht 3 Zigaretten im Abstand von je einer halben Stunde. Wieviel Nikotin befindet sich unmittelbar nach dem Rauchen der 3. Zigaretten im Körper?

Nikotin
n ( t ) = 1.5 mg * 0.5 ^(t/60)

Summe = n ( 60 ) + n(30) + n ( 0)

Anschließend überlegt sich Hr. N. Wann er nur noch 1/8 der jetzigen Nikotinmenge im Blut hat.
Wie lange muss er warten?

m ( t ) = 0.5 ^(t/60) = 1/8

Answer 1

Nikotin wird im menschlichen Körper mit einer Halbwertszeit von 60 Minuten abgebaut.  

D.h. nach einer Stunde ist nur noch die Hälfte des eingenommenen Nikotins im Körper.

Berechnen Sie den Zerfallsfaktor! 

Man kann die ursprüngliche Menge jede Stunde mit 1/2 multiplizieren.

Daher ist der Zerfallsfaktor (auf Stunden bezogen) q = 1/2. 

Wenn du den Zerfallsfaktor auf Minuten beziehen willst, schreibst du erst mal

q^60 = 1/2 und ziehst nun die sechzigste Wurzel.

q = ^60√(1/2) ≈ 0.988514020

Jede Minute wird das vorhandene Nikotin mit ca. 0.988514020 multipliziert und nach 1 Stunde ist dann nur noch 1/2 der ursprünglichen Menge im Körper. 

Comments

kannst du dass mit Stunde und Minute noch genauer erklären..versteh das gar nicht

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"kannst du dass mit Stunde und Minute noch genauer erklären.."

 Halbwertszeit von 60 Minuten = 1 Stunde abgebaut.  

Das bedeutet jede Stunde wird die Nikotinmenge mit 1/2 multipliziert. Damit ist 1/2 der gesuchte Faktor, wenn die Zeiteinheit Stunden interessiert und du schnell ausrechnen möchtest, wie viel Nikotin nach 2, 3, 4 Stunden noch vorhanden ist.

Interessierst du dich für die Zeiteinheit Minuten (1, 2,3... Minuten), kannst du mit dem 2. Faktor arbeiten. Du siehst, dass nach einer Minute noch etwa 98.8514020 % des vorher vorhandenen Nikotins im Körper sind. 

Answer 2

Hi!

Ne Standard-Zerfallsfunktion ist ja so aufgebaut:

N(t)=N0*e^-λt

Dabei Ist N(t) der Bestand in Abhängigkeit von der Zeit t

N0 ist der Bestand zu Anfang

λ ist die Zerfallskonstante

Sie hat immer ein negatives Vorzeichen, damit die Funktionswerte mit verstreichender Zeit abnehmen, da ja ein Zerfall vorliegt.

Zu deinem Beispiel.

Angenommen:

1mg Koffein wurden vom Körper aufgenommen.

Nach einer Stunde müssen es also nur noch 0,5mg sein, wegen der Halbwertszeit von 60 Minuten

1mg ist also unser Anfangsbestand also N0

Nun setzen wir den Punkt (1|0,5) ein

und lösen nach λ auf.

t in h

-> 0,5=1*e^-λ           |ln

->ln(0,5)=-λ             |*(-1)

->-ln(0,5)=λ

also

λ= - ln(0,5)=0,693147

Du kannst die Zerfallskonstante aber auch leichter berechnen.

Die Formel besagt nämlich:

λ =ln(2)/(Halbwertszeit) =ln(2)/1  -> das läuft aufs selbe drauf hinaus

Hier der Graph zum Beispiel:

~plot~ e^{-0,6931471806*x};[[ 0 | 8 | 0 | 1 ]] ~plot~

Comments

Hallo Frontliner.

Hier passt etwas mit der Darstellung des Exponenten nicht: 

ist aber wohl nicht dein Fehler.

Wie kommst du darauf, dass Zerfallsfaktor dasselbe wie Zerfallskonstante sein soll?

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Bei Funktionen des Typs

N(t)=N0*a^t

gehst du entsprechend vor.

1mg Koffein ist der ANfangsbestand:

Nach einer STunde (t=1) ist N(t)= die Hälfte also 0,5mg.

also

N0=1

Wieder in die Funktion

N(t)=N0*a^t 

einsetzen:

0,5=1*a¹

-> 0,5=a

Der Zerfallsfaktor pro Stunde beträgt also a=0,5

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Hi TR!

Danke für den Hinweis :)

Dachte zunächst dass die Zerfallskonstante gemeint sei.

Ich habe dann aber nochmal eine Erklärung zum Zerfallsfaktor hinzugefügt :)

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Bitte. 1 mg Anfangsbestand ist dein Beispiel, um die Halbwertszeit zu erklären, nehme ich mal an.

Answer 3

Ich gehe einmal von der dir sicher bekannten Kapitalvermehrung bei
Zinsrechnungen aus

K ( t ) = K0 * f ^t

K0 Anfangskapital
f : Wachstumsfaktor
t : Zeit
K ( t ) : Kapital zum Zeitpunkt t

Beispiel
t = 20
K ( 0 ) = 100
K ( 20 ) = 200

200 = 100 * f ^{20}
f ^{20} = 200 / 100
f ^{20} = 2
f = 1.0353
( entspricht 3.53 % ZInsen )

Der Wachstumsfaktor f ist 1.0353 .
In 20 Jahren hat sich das Kapital verdoppelt.

Der radioaktive Zerfall / oder Abbau von Medikamenten ist das Gegenteil von
Wachstum nämlich Rückgang.

Als eine Kenngröße für den radioaktiven Zerfall  wird die Halbwertzeit angegeben.

Die Halbwertzeit gibt an wann nur noch die Hälfte der ursprünglichen
Radioaktivität vorhanden ist.

Vorheriges Beispiel Kapital
2 = f ^{20} ( Verdoppelung )

Radioaktivität
1/2 = f ^t ( f wird jetzt Zerfallsfaktor genannt )
In deinem Beispiel nach t = 1 h
1/2 = f ^1
f = 0.5

Sich ergebende Formel
t in h
N ( t ) = N0 * 0.5 ^t

Dies ist im Prinzip dieselbe Formel wie bei der Kapitalvermehrung.
Ist f > 1 : Wachstum
Ist f < 1 : Rückgang

Comments

Danke für die super Erklärung! Also gebe ich quasi in diese Formel N ( t ) = N0 * 0.5 ^t _ein  also N(t)=1*0,5⁶⁰ stimmts?!:S

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Ja. Das stimmt, wenn dich interessiert, wie viel Nikotin nach 60 Stunden noch im Körper ist.

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kannst du dass mit Stunde und Minute noch genauer erklären..versteh das gar nicht

Ich sehe in der Aufgabenstellung war 60 min als Halbwertzeit angegeben.
Ich habe 1 h angesetzt,

Für t in Minuten muß es heißen

Radioaktivität
1/2 = f ^t ( f wird jetzt Zerfallsfaktor genannt )
In deinem Beispiel nach t = 60 min
1/2 = f ⁶⁰
f = 0.9885

Sich ergebende Formel
t in min
N ( t ) = N0 * 0.9885 ^t

Probe ( angenommen )

N ( t ) = 50
N0 = 100
N ( t ) = N0 * 0.9885 ^t

50 = 100 * 0.9885 ^t

50 / 100 = 0.9885 ^t
0.5 = 0.9885 ^t
ln ( 0.5 ) = ln ( 0.9885 ^t )
ln ( 0.5 ) = t * ln ( 0.9885 )
t = ln ( 0.5 ) / ln ( 0.9885 )
t = - 0.6941 / - 0.0116
t = 60 min

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Probe einfacher
N ( t ) = N0 * 0.9885 ^t

t = 60
N ( 60 ) = N0 * 0.9885 ^60
N ( 60 ) = N0 * 0.5

Nach 60 min wird sich der Anfangsbestand N0 halbiert haben.