Bnp-verteilte Zufallsvariable annähern möglich?

Question

ich habe lediglich eine Verständnisfrage.

Zfv. bnp-verteilt mit n = 100, und p = 0,1

Ist für p(10<X<15) eine Annäherung mit der Normalverteilung möglich?

Meiner Meinung nach nicht, es wäre möglich wenn die Fragestellung sich auf p(10<X≤15) beziehen würde.

⇒ Ich kann das nicht annähern und muss es mit der Binominalverteilung berechnen?

Answer 1

V(X) = n*p*q = 100*0.1*0.9 = 9

Eigentlich lautet die Regel, dass die Varianz großer als 9 sein muss und nicht gleich 9. Damit darf man eigentlich nicht mit der Normalverteilung nähern. Je nachdem wie wichtig es ist, kann man es aber trotzdem tun. Man muss nur wissen dass das Ergebnis nicht so genau ist.

Binomialverteilung

P(10<X<15) = ∑(COMB(100, x)·0.1^x·0.9^{100 - x}, x, 11, 14) = 0.3443

Normalverteilung

P(10<X<15) = Φ((14.5 - 10)/3) - Φ((10.5 - 10)/3) = 0.3670

Wie du siehst ist die Abweichung jetzt nicht ganz so dramatisch wie man annehmen könnte. Gerade beim Berechnen von Intervallgrenzen beim Hypothesentest, nähere ich eigentlich immer mit der Normalverteilung auch wenn die Varianz bei 2 liegen mag. Man muss dann wissen, dass man eventuell mit der Binomialverteilung die Grenzen nochmals prüfen muss.

Comments

Sollte das -0,5 und +0,5 bei deinem Lösungsweg nicht eigentlich vertauscht sein also so meine ich:

P(10<X<15) = Φ((15,5 - 10)/3) - Φ((9,5 - 10)/3)

lt. Wikipedia zumindest :O

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Wir sind uns doch einig das:

P(10 < X < 15) = P(11 <= X <= 14)

oder nicht?

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Das ist genau der Punkt den ich noch nicht vollkommen verstanden habe, wieso ist das denn das gleiche? Also ich weiß, dass man das machen muss, da ich es auch gelesen habe, aber den Sinn dahinter versteh ich noch nicht. Gibt es dafür einen logischen Grund, dass man das macht?

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10<X bedeutet x muss größer als 10 sein. Wenn x ganzzahlig ist bedeutet das x ist mind 11.

x < 15 bedeutet x muss kleiner sein als 15. Wenn x ganzzahlig ist darf x also höchstens 14 sein.