Aloha :)
Du vermutest richtig, die Normalverteilung nähert die Binomialverteilung sehr gut an, wenn die Standardabweichung \(>3\) ist. Zur Anwendung der Normalverteilung brauchst du zunächst Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\):
$$\mu=n\,p=1000\cdot44,3\%=443\quad;\quad\sigma=\sqrt{np(1-p)}\approx15,7083\gg3$$
Jetzt musst du die beiden interessierenden Werte 420 und 466 normalisieren:
$$z_1=\frac{(420-0,5)-\mu}{\sigma}=-1,4960\quad;\quad z_2=\frac{(466+0,5)-\mu}{\sigma}=1,4960$$
Beachte, dass hier eine Stetigkeitskorrektur durchgeführt wurde, indem von dem untern Wert 0,5 subtrahiert und zum oberen Werte 0,5 addiert wurde. Das ist immer dann nötig, wenn die Zufallsgröße nicht kontinuierlich verteilt, also diskret ist.
Aus einer Tabelle \(\Phi(z)\) zur Standard-Normalverteilung kannst du dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit ablesen:
$$P\left([420;466]\right)=\Phi(1,4960)-\Phi(-1,4960)=0,93267-0,06732\approx86,54\%$$