Schnittpunkt Kreis und Parabel mit Näherungsverfahren nach Newton berechnen

Question

Aufgabe:

ich habe die folgenden Funktionen gegeben:

f(x) = -x² +4x

und

(x-2)² + (y-4)² = 4

und soll nun den Schnittpunkt der beiden Funktionen mithilfe des Näherungsverfahren nach Newton auf 3 Nachkommastellen berechnen. Startwert soll dabei x₁=0,7 sein

Problem/Ansatz:

Zunächst habe ich die Kreisformel nach y umgestellt

-> g(x) = y = 4 +/- Wurzel(-x²+4x)

Dann dachte ich, muss ich lediglich nur noch die beiden Funktionen zu einer umstellen, sodass ich nachher f(x)-g(x) als eine Funktion habe. Habe dann von dieser Funktion die Ableitung gebildet und wollte mit dem Newtonverfahren starten.

Da der Startwert für x bei 0,7 liegt, muss ja auch in diesem Bereich der Schnittpunkt liegen, allerdings entferne ich mich immer weiter von der 0,7, also muss ich irgendwo einen Fehler machen, aber ich kann ihn leider nicht finden...

Answer 1

Wenn du die implizite Kreisgleichung nach y umstellst musst du die 'negative' Teilfunktion y = 4 - sqrt(-x^2 +4x) benutzen.

Dann erhieltest du \((-x^2+4x) - \left(4 - \sqrt{-x^2 +4x}\right) = 0 \Leftrightarrow -x^2+\sqrt{4x-x^2}+4x-4=0\), was du mit Newton lösen kannst.

Answer 2

Es gibt 2 Schnittpunkte:

Da man mit 0,7 beginnen soll, ist offenbar der linke gesucht.

g(x)-f(x)=\( \sqrt{-x^2+4x} \) +x²-4x+4

Davon die Nullstelle mit Newton.  

Comments

Es gibt keine reelle Nullstellen.

Answer 3

Aloha :)

Am besten machst du dir erstmal ein Bild von dem Aussehen der beiden Funktionen:$$y_1=-x^2+4x=-x^2+4x-4+4=-(x-2)^2+4$$\(y_1\) ist also eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt S(2;4).$$(x-2)^2+(y_2-4)^2=4$$ beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt M(2,4) und Radius 2. Der Scheitelpunkt S der Parabel ist also der Mittelpunkt M des Kreises. Wenn du also die Schnittpunkte der beiden Kurven suchen sollst, musst du die untere Hälfte des Kreises als Funktion \(y_2(x)\) schreiben:$$(x-2)^2+(y_2-4)^2=4\;\;\Rightarrow\;\;(y_2-4)^2=4-(x-2)^2$$$$\Rightarrow\;\;y_2-4=-\sqrt{4-(x-2)^2}\;\;\Rightarrow\;\;y_2=4-\sqrt{4-(x-2)^2}$$Hier ist wegen der Überlegungen von oben vor der Wurzel nur das Minus-Zeichen gesetzt worden. Jetzt kannst du die Differenzfunktion \(f(x)\) bilden und davon die Nullstellen mit dem Newton-Verfahren bestimmen:

$$f(x)=y_1(x)-y_2(x)=-(x-2)^2+4-\left[4-\sqrt{4-(x-2)^2}\right]$$$$\underline{f(x)=-(x-2)^2+\sqrt{4-(x-2)^2}}$$

Die Ableitung ist:$$f'(x)=-2(x-2)+\frac{-2(x-2)}{2\sqrt{4-(x-2)^2}}=-(x-2)\left(2+\frac{1}{\sqrt{4-(x-2)^2}}\right)$$Darauf kannst du jetzt die Newton-Iteration \(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) mit \(x_1=0,7\) anwenden:

x_n	f(x_n)	f‘(x_n)
0,7	-0,170131584642933	3,4553372034477
0,749237331879846	-0,003768681365436	3,30296821461362
0,750378330254811	-1,98648019611447E-06	3,29948656216335
0,750378932312179	-5,52224932448553E-13	3,29948472559594
0,750378932312347	0	3,29948472559543

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Vielen Dank für die schnelle Hilfe!