Newton`sches Näherungsverfahren bei x^3 - 4x^2 + 4 = 0

Question

Die folgende Gleichung besitzt genau drei reelle Lösung. Ermittle sie mit Hilfe des Iterationsverfahren auf 4 Nachkommastellen genau : x³- 4x²+4=0

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Eine Seite, die das automatisch macht: https://www.matheretter.de/rechner/polynomgleichung/

Answer 1

1. Schritt: Ableitung bestimmen
f(x) =  x^3 - 4 * x^2 + 4
f'(x) = 3 * x^2 - 8 * x

2. Schritt: Skizze

3. Schritt: Startwerte
x1= -1;  x2= 1;   x3= 4;

4. Schritt: Näherungsverfahren
x_k+1 = x_k - f(x) / f'(x)

x1= -1:
k=0: -0.909090909090909
k=1: -0.903235747303544
k=2: -0.903211926305156

x2= 1:
k=0: 1.200000000000000
k=1: 1.193939393939394
k=2: 1.193936566475264

x3= 4:
k=0: 3.750000000000000
k=1: 3.710256410256410
k=2: 3.709275950188182
 

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Noch eine Anmerkung zu den Startwerten:
Wenn man die Startwerte nicht nah genug an der Nullstelle wählt, dann konvergiert das Verfahren nicht und man erhält kein Ergebnis.

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Für den Fall, dass das Verfahren an sich nicht klar ist:
Man setzt den Startwert für x in die Gleichung x_k+1 = x_k - f(x_k) / f'(x_k) ein. Das heißt z.B. x_k= x1 und berechnet dann x_k+1. x_k+1 setzt man dann wiederum in die Gleichung ein und erhält x_k+2 usw. Das setzt man so lange fort bis man die gewünschte Genauigkeit erreicht hat.

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es tut mir leid ich verstehe zwei Sachen nicht wie sind sie auf das da gekommen

3. Schritt: Startwerte
x1= -1;  x2= 1;   x3= 4;

4. Schritt: Näherungsverfahren

x_k+1 = x_k - f(x) / f'(x)  ich verstehe das trotzdem nicht so ganz können sie mir einen Beispiel vorzeigen

                             danke
 

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es tut mir leid ich verstehe zwei Sachen nicht wie sind sie auf das da gekommen

3. Schritt: Startwerte
x1= -1;  x2= 1;   x3= 4;

4. Schritt: Näherungsverfahren

x_k+1 = x_k - f(x) / f'(x)  ich verstehe das trotzdem nicht so ganz können sie mir einen Beispiel vorzeigen

                             danke

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Zu Schritt 3: Hier wähle ich die Startwerte
Die Startwerte wählt man am besten so, dass sie möglichst nahe an der eigentlichen Nullstelle liegen. Um gute Startwerte abschätzen zu können habe ich eine Skizze angefertigt (bzw. vom Rechner zeichnen lassen) und geschaut wo die Kurve ungefähr die x-Achse schneidet; also ungefähr bei 1, -1 und 4.
Das ist zumindest meine Vorgehensweise. Vielleicht gibt es noch andere Methoden um einen guten Startwert zu finden. Soweit ich weiß ist aber genau das finden von Startwerten ein Problem des Newton Verfahrens. Für einfache Funktionen, so wie die in der Fragestellung hier, sollte die grafische Ermittlung der Startwerte aber genügen.

Zu Schritt4: Das Näherungsverfahren
Da ich das Verfahren nicht besser erklären kann, hier ein Video: http://www.binomi.de/pi3/pd8.html .
[Die Formel geht auf Sir Isaac Newton (1669) und Joseph Raphson (1690)  zurück (https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren). Man findet sie in jeder besseren Formelsammlug, so z.B. in Merziger, G.; Formeln + Hilfen zur Höheren Mathematik; Binomi Verlag (http://www.binomi.de/pi3/pd8.html). Das ist zumindest die, die ich verwende. Es gibt aber noch andere und umfangreichere.
Wenn also in der Aufgabenstellung steht "Verwende zur Lösung das Newtonsche Näherungsverfahren", dann ist es eine bewährte Vorgehensweise dort nach eben diesem Verfahren zu suchen.]

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Hier der richtige Link zum Video