Erste Ableitung von Logarithmus: Bsp. f(x)= x^2 *Inx^2

Question

f(x)= 2^5x

f(x)= 1/√e^x

f(x)= ( e^x + e^-x)²

f(x)= 3^-x/x²                                       

f(x)= 3* In(x+1)

f(x)= In√x+1/x-1

f(x)= ²log√x

f(x)= In(cos² x)

f(x)= x² *Inx²

                              bitte mit Rechenschritte

                                         vielen danke!

Comments

f(x)= In√x+1/x-1 meinst du möglicherweise nicht so, wie du das geschrieben hast.

f(x)= In√x + 1/x - 1

                  |Kettenregel

f ' (x) = 0.5x^{-0.5} * 1/x^{0.5} - lnx

                  |Bruchrechnen

= 0.5/x  - lnx

Sollte f(x) anders zusammengehören, musst du entsprechend Klammern setzen.

Allgemein musst du bei allen Aufgaben Ketten- und Produktregel geeignet kombinieren und dann die Resultate vereinfachen.

Zu f(x)= ²log√x . Benutze

f(x)= ²log√x = (ln√x) / (ln2) = (1/ln2) * ln√x

Answer 1

a) f(x)=2^5x=e^5x*ln(2)

f'(x)=5*ln(2)*e^5x*ln(2)=5*ln(2)*2^5x

 

b) f(x)=1/√e^x=e^-x/2

f'(x)=-1/2*e^-x/2

 

c) f(x)=( e^x + e^-x)²=e^2x+2e^xe^-x+e^-2x -> der mittlere Terme vereinfacht sich zur 2 (Potenzgesetze) -> f(x)=e^2x+2+e^-2x

f'(x)=2e^2x-2e^-2x=2(e^2x-e^-2x)

 

d) f(x)=3^-x/x²             (Produktregel verwenden und 3^-x=e^-xln(3))

f'(x)=-(3^-x(xln(3)+2))/x³

 

e) f(x)=3*ln(x+1)

f'(x)=3/(x+1)

 

f) siehe Lu

 

g) Nicht zu lesen. Was soll die Potenz 2 da vorne? Nun ich hab Dir ja oben schon gezeigt wie man die Regeln anwendet. Probier es hier selbst. Ich kontrolliere gerne

 

h) f(x)=ln(cos²(x))=2ln(cos(x))             (mit Kettenregel)

f'(x)=2*1/cos(x)*(cos(x))'=2*1/cos(x)*(-sin(x))=-2tan(x)

1/cos(x) -> Ableitung des Logarithmus selbst  
(cos(x))'=-sin(x) -> innere Ableitung

 

i) f(x)=x²ln(x²)=2x²ln(x)                 Produktregel

f'(x)=4xln(x)+2x²*1/x=4xln(x)+2x

 

 

Grüße

 

 

Answer 2

 

f(x)= ²log√x = (1/ln2) * ln√x

f ' (x) = 1/ln2 * 0.5*x^{-0.5}*1/x^0.5

 = 1/ (2ln2 *x)

f(x)= In(cos² x)

         |geschachtelte Kettenregel

f ' (x) = (-sin x) 2*cos x * 1/ (cos^2 x) = -2 tan x

f(x)= x² *Inx²

          |Produktregel inkl. Kettenregel

f ' (x) = 2x * lnx^2 + x^2 * (2x) * 1/x^2

          |Bruchterm vereinfachen

        = 2x * lnx^2 + 2x

          |ausklammern

        = 2x (lnx^2 + 1)

 

f(x)= 1/√e^x  = e^{-0.5x}

f ' (x) =

         |Kettenregel

=   -0.5 * e^{-0.5x}

          |Bruchterm vereinfachen

= - 1/ (2√e^x)

f(x)= ( e^x + e^-x)²

^{f ' (x) = (e^x - e^{-x}) *2(e^x + e^{-x}) = 2(e^{2x} - e^{-2x})}                                    

f(x)= 3* In(x+1)

         |Kettenregel. Faktor 1 

f ' (x) = 3 * 1*  1/(x+1) = 3 / (x+1)

f(x)= In√x+1/x-1

vgl. Lösungsweg in meinem Kommentar oben