Binomialverteilung durch Normalverteilung annähern

Question

Hi, ihr Lieben!

Mir ist folgende Aufgabe gestellt worden:

Es mögen 44,3% aller Wähler die Partei ABC gewählt haben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter 1000 willkürlich herausgefilterten Wählern mindestens 420 und maximal 466 ABC-Wähler zu finden?

Ich habe dazu die Binomialverteilung angesetzt:

$$p=\sum_{i=420}^{466}\binom{1000}{i}*0,443^i*(0,577)^{1000-i}$$

Jetzt möchte ich nicht unbedingt 46 Summanden ausrechnen und habe mich gefragt, ob man p mittels einer Normalverteilung annähern kann. Ich weiß nur nicht, wie das geht.

Habt ihr einen Tipp für mich?

Answer 1

Aloha :)

Du vermutest richtig, die Normalverteilung nähert die Binomialverteilung sehr gut an, wenn die Standardabweichung \(>3\) ist. Zur Anwendung der Normalverteilung brauchst du zunächst Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\):

$$\mu=n\,p=1000\cdot44,3\%=443\quad;\quad\sigma=\sqrt{np(1-p)}\approx15,7083\gg3$$

Jetzt musst du die beiden interessierenden Werte 420 und 466 normalisieren:

$$z_1=\frac{(420-0,5)-\mu}{\sigma}=-1,4960\quad;\quad z_2=\frac{(466+0,5)-\mu}{\sigma}=1,4960$$

Beachte, dass hier eine Stetigkeitskorrektur durchgeführt wurde, indem von dem untern Wert 0,5 subtrahiert und zum oberen Werte 0,5 addiert wurde. Das ist immer dann nötig, wenn die Zufallsgröße nicht kontinuierlich verteilt, also diskret ist.

Aus einer Tabelle \(\Phi(z)\) zur Standard-Normalverteilung kannst du dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit ablesen:

$$P\left([420;466]\right)=\Phi(1,4960)-\Phi(-1,4960)=0,93267-0,06732\approx86,54\%$$

Comments

Danke euch allen für die Antworten.

Ich habe die von Tschakabumba am besten verstanden, sie ist vollständig (Stetigkeitskorrektur und Bedinung \(\sigma>3\)) und er hat alles toll erklärt.

Answer 2

Ja, kannst du.

Sei X die Anzahl an ABC-Wählern.

E(X) = 1000*0.443 = 443
sd(X) = sqrt (443 * (1-0.443)) ≈ 15.7 > 3

P(420 ≤ X ≤ 466) = Φ( (466 - E(X)) / sd(X) ) - Φ( (420 - E(X)) / sd(X) ) ≈ 0.857% (ohne Stetigkeitsk.)

P(420 ≤ X ≤ 466) = Φ( (466 +0.5 - E(X)) / sd(X) ) - Φ( (420 -0.5 - E(X)) / sd(X) ) ≈ 0.865% (mit Stetigkeitsk.)

Kontrolle

Comments

Warum hast du die Stetigkeitskorrektur weggelassen?

---

Stimmt, die sollte ich benutzen; danke für den Hinweis.

Answer 3

μ = n·p = 1000·0.443 = 443

σ = √(n·p·(1 - p)) = √(1000·0.443·(1 - 0.443)) = 15.71

P(420 ≤ X ≤ 466) = Φ((466 + 0.5 - 443)/15.71) - Φ((420 - 0.5 - 443)/15.71) = 0.8653

Binomialverteilung zur Kontrolle

∑ (x = 420 bis 466) ((1000 über x)·0.443^x·(1 - 0.443)^(1000 - x)) = 0.8654