Hi,
zu (e)
$$ \int_a^b [f''(x) - s''(x)]^2 dx = \int_a^b [ f''(x)^2 - 2 f''(x) s''(x) + s''(x)^2 - 2 s''(x)^2 + 2 s''(x)^2 ] dx = $$
$$ \int_a^b f''(x)^2 dx - \int_a^b s''(x)^2 dx - 2 \int_a^b [ f''(x) - s''(x)]s''(x) dx ] $$
Partielle Integration für den letzten Ausdruck ergibt
$$ \int_a^b [ f''(x) - s''(x)]s''(x) dx = [f'(x) - s'(x)]s''(x)\big|_a^b - \int_a^b [f'(x) - s'(x)] s'''(x) dx $$
Da \( s(x) \) ein Polynom dritten Grades ist, ist \( s'''(x) \) eine Konstante. Eine Stammfunktion für \( f'(x) - s'(x) \) ist \( s(x) - f(x) \) also folgt
$$ \int_a^b [f'(x) - s'(x)] s'''(x) dx = K [ f(x) - s(x) ] \big|_a^b = 0 $$ weil ja \( f(a) = s(a) \) und \( f(b) = s(b) \) gilt.
Also hat man insgesamt
$$ \int_a^b [f''(x) - s''(x)]^2 dx = \int_a^b f''(x)^2 dx - \int_a^b s''(x)^2 dx - 2 [f'(x) - s'(x)]s''(x)\big|_a^b $$
Gilt nun \( s''(a) = s''(b) = 0 \) folgt
$$ \int_a^b [f''(x) - s''(x)]^2 dx = \int_a^b f''(x)^2 dx - \int_a^b s''(x)^2 dx \ge 0 $$ also
$$ \int_a^b s''(x)^2 dx \le \int_a^b f''(x)^2 dx $$ Da man auch zeigen kann, dass \( s(x) \) auch eindeutig bestimmt ist, ist damit \( s(x) \) die glatteste Funktion die \( f(x) \) interploliert, da ja die zweiten Ableitungen ein Maß für die Krümmung der Kurve ist. Hier ist also die gesamte Krümmung der Funktion \( s(x) \) kleiner oder gleich der gesamten Krümmung von \( f(x) \)
