Normalform zu Scheitelpunktform

Question

Schreibe morgen eine Klassenarbeit .....checke dass mit normalform in die scheitelpunksformel umrechnen nicht......zumindest nicht in diesem fall:

Y=3x^2-12x+9


 

Answer 1

Hi,

als erstes sorge dafür, dass wir es nur noch mit x^2 zu tun haben:

f(x)=3(x^2-4x+3)

Nun gehts daran die Scheitelpunktform rauszufinden. Das geht unter anderem mit der quadratischen Ergänzung:

f(x)=3(x^2-4x+4-1) = 3((x-2)^2-1) = 3(x-2)^2-3

 

Der rote Part ist der wichtigste. Was Du hier versucht hast, ist eine binomische Formel zu kreiieren. x^2-4x sind dabei Deine Vorgabe. Den letzten Summanden musst Du mit dem Wissen der ersten beiden bestimmen. Mit a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 folgt sofort, dass b=2 und damit b^2=4 sein muss. Da wir nur eine 3 vorhanden haben, müssen wir diese um 1 erhöhen. Damit sich die Aussage aber nicht ändert dieses gleich wieder abziehen. Das ist dieses +4-1.

 

Alles klar?

 

Grüße

Answer 2

Zunächst mal 2 Erklärungen als Demonstrationsbeispiel

 

Bestimmung des Scheitelpunktes über qudratische Ergänzung

f(x) = a·x^2 + b·x + c
f(x) = a·(x^2 + b/a·x) + c
f(x) = a·(x^2 + b/a·x + (b/(2·a))^2 - (b/(2·a))^2) + c
f(x) = a·(x^2 + b/a·x + (b/(2·a))^2) + c - ab^2/(4·a^2)
f(x) = a·(x + b/(2·a))^2 + c - b^2/(4·a)

Der Scheitelpunkt befindet sich bei S(- b/(2·a), c - b^2/(4·a))

Hier das Ganze mit einem Zahlenbeispiel:

f(x) = 3·x^2 - 22·x + 35
f(x) = 3·(x^2 - 22/3·x) + 35
f(x) = 3·(x^2 - 22/3·x + (11/3)^2 - (11/3)^2) + 35
f(x) = 3·(x^2 - 22/3·x + (11/3)^2) + 35 - 3·(11/3)^2
f(x) = 3·(x - 11/3)^2 - 16/3

Der Scheitelpunkt befindet sich bei S(11/3, -16/3)

Bestimmung des Scheitelpunktes über Formel

f(x) = ax^2 + bx+ c

x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt bei Sx = -b/(2a)

y-Koordinate des Scheitelpunktes liegt bei Sy = f(Sx)

 

Der Scheitelpunkt befindet sich bei S(Sx, Sy)

Hier das Ganze mit einem Zahlenbeispiel:

f(x) = 3·x^2 - 22·x + 35
Sx = - b/(2·a) = - (-22)/(2·3) = 11/3
Sy = f(11/3) = 3·(11/3)^2 - 22·(11/3) + 35 = -16/3

Der Scheitelpunkt befindet sich bei S(11/3, -16/3)

Comments

Du kannst hier auch beide Verfahren anwenden. Wenn du es sehr einfach haben willst nimmst du die Formel

f(x) = 3x^2 - 12x + 9

Sx = -b/(2a) = -(-12)/(2*3) = 2

Sy = f(2) = 3*2^2 - 12*2 + 9 = -3

Den Öffnungsfaktor vor dem x^2 übernimmt man zur Scheitelpunktform

f(x) = a(x - Sx)^2 + Sy = 3(x - 2)^2 - 3

Das war es dann schon.