Wie erkennt man, dass es sich hierbei um eine geometrische Reihe handelt?

Question

Hallo

Wie erkennt man, das es sich hierbei um eine geometrische Reihe handelt?

Aufgabe:Martina bewahr ihr Kapitel von 7000€ zu Hause in einer Kassse auf und legt immer am Ende des Jahres 1500 € dazu und entnimmt anschliessen 8% des entstandenen Kapitals. Wie gross ist das Kapital nach n Jahren?

Durch Ausprobieren, erhalte ich, das es sich beim Wachstum um eine geometrische Reihe handelt, die zum Kapital addiert, das jeweilige Kapital im nten Jahr angibt. Die Formel: K_n= 7000+820*(0.92^n -1)/(0.92-1)

Jedoch weiss ich nicht, warum dies stimmt, und wie man das "sieht", das es sich um eine geometrische Reihe handelt.

Danke

Answer 1

Ausprobieren und Ergebnis beobachten / interpretieren ist wohl eine gute Idee:

Anfang 7000

nach 1. Jahr    (7000 + 1500) * 0,98

nach 2. Jahr     ((7000 + 1500) * 0,98  + 1500)*0,98

nach 3. Jahr     (((7000 + 1500) * 0,98  + 1500)*0,98+1500)*0,98

Jetzt die Klammern auflösen

  (((7000 + 1500) * 0,98  + 1500)*0,98+1500)*0,98

  ((7000 + 1500) * 0,98  + 1500)*0,98*0,98+1500*0,98

  (7000 + 1500) * 0,98*0,98*0,98  + 1500*0,98*0,98+1500*0,98

  7000*0,98^3  + 1500 * 0,98*0,98*0,98  + 1500*0,98*0,98+1500*0,98

  7000*0,98^3  + 1500 * 0,98^3  + 1500*0,98^2+1500*0,98

und dann kann man leicht verallgemeinern :

Ergenis nach n Jahren:  Das rote ist eine

geom. Reihe mit Anfangsglied 1500*0,98 und Faktor 0,98

und das erste ist immer 7000*0,98^n

Comments

Lieber Mathef,

das ist alles richtig, was du schreibst. Die Lösung hat eine geometrische Reihe als Bestandteil. Aber ihr erstes Glied ist eine Funktion von n. Ist das dann insgesamt noch eine geometrische Reihe?

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Das erste  ist wohl eher eine geom. Folge.

Reihe ist ja immer sowas, wo mehrere Summanden aufaddiert werden.

Insgesamt ist das also der 1. Summand + die Reihe