Beweis Konvergenz.

Question

ich sitze jetzt schon länger an 3 Aufgaben von meinem Übungsblatt und komme einfach nicht weiter :-(
a)  Zeigen Sie, dass für jede beschränkte reelle Folge (an) und für jedes reelles c > gleich 0 gilt:
lim sup c*(an)   =   c * lim sup (an)              (für n -> unendlich)

b)  Sei (an) (n natürliche Zahl)  eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass      $$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { a }_{ n } } \quad \quad genau\quad dann\quad konvergiert,\quad wenn\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { { 2 }^{ n }a }_{ { 2 }^{ n } } } \quad konvergiert $$

c) Sei a reelle Zahl größer gleich 0. Zeigen Sie dass  $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ { n }^{ a } }  }_{  } } \quad \quad genau\quad dann\quad konvergiert,\quad wenn\quad a\quad >\quad 1 $$
Ich habe leider noch keinen Ansatz und hänge fest.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen !
Liebe Grüße

Answer 1

a)  Zeigen Sie, dass für jede beschränkte reelle Folge (an) und für jedes reelles c > gleich 0 gilt:
lim sup c*(an)   =   c * lim sup (an)     

Hängt davon ab, wie ihr definiert habt. Manche definieren so :$$ \lim_{n\to\infty}sup ({ x }_{n }) = \lim_{n\to\infty}(\sup_{k≥n}({ x }_{k }))$$

Und wenn nun  x_n = c*a_n ist, dann habt ihr vielleicht sogar schon bewiesen,

dass für positives c dann     sup( c*a_n) = c *sup(a_n)    #

also ist sup (über alle k≥n) von c*(a_k) =  c *  sup (über alle k≥n) von (a_k)  

und beim lim  ist es ja genauso (Grenzwertsätze) lim ( c*a_n) = c * lim (a_n)

wenn ihr  # nicht beiwesen habt, musst du es hier einfügen, etwa so:

sei s =   sup( a_n) dann ist s eine obere Schranke für alle a_n  also gilt

s ≥ a_n   für  alle n aus IN., da c > 0 gilt also also auch

s*c   ≥   c* a_n   für  alle n aus IN  , also ist s*c eine obere Schranke für

die Folge mit den Gliedern     c* a_n  .

Bleibt zu zeigen, dass es keine kleinere gibt. Geht so ähnlich, weil damit auch eine

kleinere als s für die Folge a_n entstehen würde.

Comments

leider weiß ich nicht, wie genau ich das zeigen kann...

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nimm einfach an  s*c - eps wäre auch eine obere Schranke für  c* a_n 

also      s*c - eps  ≥  c* a_n   für alle n aus IN

dann gilt, weil c>0 auch

             s   - eps / c     ≥  a_n     für alle n aus IN

also wäre             s   - eps / c    auch eine obere Schranke für   a_n

aber       s   - eps / c   < s  also gäbe es für   an eine kleinere obere

Schranke  als s, im Widerspruch zu:  s ist die kleinste ob. Sch.r.

nämlich das sup.