Aufgabe:
Text erkannt:
(c) Sei \( \left(a_{n}\right) \) eine Folge reeller Zahlen, welche beschränkt ist und monoton wächst. Beweisen Sie, dass \( \left(a_{n}\right) \) damit auch konvergent ist.
Hallo zusammen,
ich habe gerade versucht diese Aufgabe zu lösen, weiß allerdings nicht, ob dieser Weg der richtige ist.
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz:
Angenommen (an) wäre nicht konvergent (also divergent):
Da (an) beschränkt ist hat (an) eine untere und obere Schranke also auch eine Kleinste obere Schranke (Supremum) und eine größte untere Schranke (Infimum).
Supremum bedeutet, dass es ein Folgenglied (supremum) gibt, sd. für alle anderen Folgenglieder x ∈ (an) gilt: x <= supremum
(Analog Infimum)
Wenn (an) divergent ist gilt: lim(an) = + Unendlich oder lim(an) = - Unendlich.
Wenn (an) also divergiert, muss es immer ein Folgenglied x ∈ (an) geben, welches kleiner oder größer als der "Vorgänger" ist. (Je nach uneigentlicher Konvergenz + oder - unendlich)
Für mich ist dies Schon ein Widerspruch zur Definition von Supremum und Infimum.
Wäre super nett, wenn mir eine(r) seine/ihre Meinung zu meinem Ansatz geben könnte. Eventuell auch, warum er nicht funktioniert.
Vielen Dank!
