integral mit monotoner konvergenz

Question

habe hier diese Aufgabe. Leider verstehe ich hunt und vorne nicht wie die hier vorgehen.

Was bringt mir die monotone Konvergenz? Wenn ich sowieso das Intergal berechnen soll

und wie kommen die auf die Integral Werte? Muss man das nicht mit partieller Integration machen?

Comments

Der erste Teil ist wohl dazu da, festzustellen, dass das Integral überhaupt existiert.

D.h.  dass du die  einzelnen Summanden separat integrieren darfst und z.B. am Schluss aber den Grenzwert erst nimmst, wenn du wieder addiert hast.

Suche mal den entsprechenden Satz im Skript und schaue, was ihr dort für Begründungen und Folgerungen notiert habt. 

Die partielle Integration kommt ja dann auch noch vor, wenn die Summanden integriert werden.

Answer 1

Ich persönlich hätte die Integration selber über einen allgemeinen Ansatz mit Koeffizientenvergleich gemacht. Man kann aber auch das über partielle Integration machen.

Allgemeiner Ansatz

F(x) = e^{- x^2}·(a·x^2 + b·x + c)

F'(x) = -2·x·e^{- x^2}·(a·x^2 + b·x + c) + e^{- x^2}·(2·a·x + b)

F'(x) = e^{- x^2}·(-2·x·a·x^2 - 2·x·b·x - 2·x·c) + e^{- x^2}·(2·a·x + b)

F'(x) = e^{- x^2}·(-2·a·x^3 - 2·b·x^2 - 2·c·x) + e^{- x^2}·(2·a·x + b)

F'(x) = e^{- x^2}·(-2·a·x^3 - 2·b·x^2 + 2·a·x - 2·c·x + b)

F'(x) = e^{- x^2}·(-2·a·x^3 - 2·b·x^2 + (2·a - 2·c)·x + b)

Koeffizientenvergleich

-2·a = 1 --> a = -0.5

- 2·b = 0 --> b = 0

2·(-0.5) - 2·c = 1 --> c = -1

Stammfunktion

∫ e^{- x^2}·(x^3 + x) dx = e^{- x^2}·(-0.5·x^2 - 1) + C