Angenommen \( a_{n} \) konvergiert gegen \( a \). Dann gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=a \text { und } \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}^{2}+\frac{1}{4}\right)=\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}\right)^{2}+\frac{1}{4}=a^{2}+\frac{1}{4} \)
wobei wir du den limes in \( x^{2} \) reinziehen konnten, da die Funktion stetig ist. Das bedeutet nun, gäbe es einen solchen Grenzwert, so müsste für ihn gelten
\( a=a^{2}+\frac{1}{4} \)
Das ist ein quadratisches Polynom und die Lösung(en) können einfach mit der wohlbekannten Formel ermittelt werden. Nun musst du natürlich noch zeigen, dass die Folge kovergiert. Das machst du via Induktion, i.e. wir beweisen zuerst, dass sie beschränkt ist und danach, dass sie monoton steigt.
Induktionsanfang \( (\mathrm{n}=1): a_{1}=\frac{1}{4} \leq \frac{1}{2} \)
Induktionsschritt \( (n \Longrightarrow n+1): a_{n+1}=a_{n}^{2}+\frac{1}{4} \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \)
(Die 1/2 sind hier einfach so gewählt, dass es klappt. Du kannst jedoch eine beliebige obere Schranke wählen, wenn sie jedoch zu gross ist, wird deine Induktion nicht funktionieren).
Bemerkung: Wenn du zwei Lösungen für die quadratische Formel bekommst, kann natürlich nur eine von beiden der Grenzwert sein, du musst also jene wählen, welche mit den bewiesenen Eigenschaften konsistent ist.
Die Monotonie zeigst du ebenfalls mit Induktion.
