Kennt sich jemand mit Beweisen aus? ich brauch bitte Hilfe.
Gegeben sind die Reihen \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) und \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n} \) mit
\( a_{n}=\frac{(n+\cos (n))^{7}}{(n-\sin (n))^{9}} \quad \text { und } \quad b_{n}=\frac{(n-\cos (n))^{5}}{(n+\sin (n))^{6}} \text {. } \)
Überprüfen Sie die Reihen anhand folgender Schritte auf Konvergenz:
(a) Zeigen Sie, dass Folgen \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(d_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) existieren, sodass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} d_{n}=1 \) gilt und \( a_{n}=\frac{c_{n}}{n^{2}} \) sowie \( b_{n}=\frac{d_{n}}{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(b) Folgern Sie aus (a), dass es Indizes \( N_{a}, N_{b} \in \mathbb{N} \) gibt, sodass \( \left|a_{n}\right| \leq \frac{2}{n^{2}} \) für alle \( n \geq N_{a} \) und \( b_{n} \geq \frac{1}{2 n} \) für alle \( n \geq N_{b} \). Begründen Sie anhand dieser Tatsachen, ob \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) bzw. \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n} \) konvergiert oder divergiert.
