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Konvergenz und Monotonie von Folgen
a_n = sin(1/n * π)
*Beschränktheit:* Die Sinus-Funktion ist zwischen -1 und 1 beschränkt, unabhängig von ihrem Argument. Da \(1/n \cdot \pi\) immer eine reelle Zahl ist, ist \(\sin(1/n \cdot \pi)\) immer zwischen -1 und 1. Daher ist diese Folge beschränkt.
*Monotonie:* Wir untersuchen die Monotonie, indem wir \(a_n\) und \(a_{n+1}\) vergleichen:
\(
a_n = \sin\left(\frac{1}{n}\pi\right),\quad a_{n+1} = \sin\left(\frac{1}{n+1}\pi\right)
\)
Da \(\frac{1}{n}\pi\) mit steigendem \(n\) abnimmt und die Sinus-Funktion im Intervall \(0\) bis \(\pi\) (das relevante Intervall für unsere Zwecke, da \(1/n \cdot \pi > 0\) und gegen 0 strebt) monoton steigt, ist \(a_n\) monoton fallend.
*Konvergenz:* Wir bestimmen den Grenzwert, wenn \(n\) gegen unendlich geht:
\(
\lim_{n \to \infty} \sin\left(\frac{1}{n}\pi\right) = \sin(0) = 0
\)
Die Folge konvergiert gegen 0.
b_n = sin(n * π/2)
*Beschränktheit:* Wie zuvor ist die Sinus-Funktion immer zwischen -1 und 1 beschränkt, selbst wenn ihr Argument variiert. Daher ist diese Folge beschränkt.
*Monotonie:* Hier betrachtet man die Werte der Sinus-Funktion für \(n \cdot \pi/2\), was die Folge der Werte \(\sin(\pi/2), \sin(\pi), \sin(3\pi/2), \sin(2\pi), \ldots\) erzeugt, was der Sequenz 1, 0, -1, 0, ... entspricht. Diese Sequenz ist nicht monoton, da ihre Werte ständig zwischen 1, 0 und -1 wechseln.
*Konvergenz:* Da die Folge zwischen den Werten 1, 0, und -1 wechselt, hat sie keinen Grenzwert und konvergiert daher nicht.
c_n = cos(1/n * π)
*Beschränktheit:* Die Kosinus-Funktion ist ebenfalls zwischen -1 und 1 beschränkt. Daher ist auch diese Folge beschränkt.
*Monotonie:* Wie bei der Folge \(a_n\), vergleichen wir \(c_n\) und \(c_{n+1}\):
\(
c_n = \cos\left(\frac{1}{n}\pi\right),\quad c_{n+1} = \cos\left(\frac{1}{n+1}\pi\right)
\)
Da \(\frac{1}{n}\pi\) mit steigendem \(n\) abnimmt und die Kosinus-Funktion im Intervall \(0\) bis \(\pi\) (der relevante Bereich, da \(1/n \cdot \pi > 0\) und gegen 0 strebt) monoton fällt, ist \(c_n\) monoton steigend.
*Konvergenz:* Der Grenzwert, wenn \(n\) gegen unendlich geht, ist:
\(
\lim_{n \to \infty} \cos\left(\frac{1}{n}\pi\right) = \cos(0) = 1
\)
Die Folge konvergiert gegen 1.
