Beweis Folgen Konvergenz

Question

Aufgabe

Ich soll beweisen, ob diese Folgee konvergent oder divergent ist.

a) bn := (1 + 2(-1)^n)^n

Mein Ansatz wäre, dass ich zuerst betrachten würde, wie sich es in den Klammer mit der Konvergenz und Divergenz verhält und dann davon ausgehen, ob die gesamte Folge konvergiert oder divergiert ?

Danke für die Hilfe im Voraus

Comments

Ich würde erst einmal ein paar Folgenglieder berechnen, um einen Eindruck zu bekommen, was passiert.

Gruß

Answer 1

b_n := (1 + 2(-1)^n)^n

b₁=  -1    b2= 3^2  b3 = -1   b4 = 3^4  etc.

Die mit ungeradem Index haben immer den Wert -1

und die mit geradem 3^n .

Also kein Grenzwert.

Comments

Das heißt, dass ich es auf ungerade n und auf gerade n aufteilen darf und sie für ungerade und gerade n einzeln betrachten darf, weil ich diese Idee auch hatte, aber wusste nicht, ob es als "Beweis" gelten kann ?

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Wenn du das genauer auf die Def. der Konvergenz

beziehen willst, so kannst du sagen:

Angenommen es gäbe ein g∈ℝ und für jedes ε>0 würde gelten:

Es gibt ein  N∈ℕ  so dass für alle n > N gilt |b_n - g | < ε.

Dann müsste wegen der Glieder mit ungeradem Index

gelten g=-1. Allerdings gilt dann schon für ε=0,5 nicht mehr ,

dass die Glieder mit geradem Index auch die Ungleichung erfüllen.

Also gibt es keinen Grenzwert.