Frage über Konvergenz von Folgen

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen,

Ich übe momentan die Konvergenz von Folgen zu bestimmen, aber bei diesen beiden komme ich nicht weiter:

a) \( a_{n}=\frac{(-1)^{n} 2^{n}-3}{2^{n}+3} \)

b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(x^{2}+\cos \left(\frac{1}{x}\right)\right) \)

Problem/Ansatz:

Bei a) hätte ich die Folge nach oben abgeschätzt mit \( \frac{2ⁿ}{2ⁿ} \) , das konvergiert für n gegen unendlich ja einfach gegen 1. Jedoch bin ich mir nicht sicher ob man das hier machen darf, da das Majorantenkriterium ja eigentlich nur bei Reihen angewendet wird.

Bei der b) habe ich keine Ahnung, ich nehme an dass es keinen Grenzwert gibt, aber ich muss das ja irgendwie formal begründen.

Es wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. LG :)

Answer 1

\( a_{n}=\frac{(-1)^{n} 2^{n}-3}{2^{n}+3} =\frac{(-1)^{n} -\frac{3}{2^{n}}}{1+\frac{3}{2^{n}}} \)

Die Brüche in Zähler und Nenner gehen gegen 0, also verhält sich das Ganze

ähnlich wie (-1)^n , ist also nicht konvergent.

b) Betrachte es für n→∞ mit x=1/(n*pi) . Dann geht der 1. Summand gegen 0

aber der 2. verhält sich wie (-1)^n , also auch nicht konvergent.

Answer 2

Aloha :)

zu a) Betrachte die Folge \((a_n)\) für gerade und ungerade \(n\):$$a_n=\frac{(-1)^n2^n-3}{2^n+3}=\left\{\begin{array}{cl}\frac{2^n-3}{2^n+3} & \text{falls \(n\) gerade}\\[2ex]\frac{-2^n-3}{2^n+3} & \text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{cl}1-\frac{6}{2^n+3} & \text{falls \(n\) gerade}\\[2ex]-1 & \text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$Für gerade \(n\) wäre der Grenzwert der Folge gleich \(1\), für ungerade \(n\) wäre er \((-1)\). Unterschiedliche Wege führen also zu unterschiedlichen Grenzwerten, daher ist die Folge nicht konvergent.

zu b) Wir betrachten den Grenzwert auf zwei möglichen Wegen:$$a_n=\frac{1}{n\cdot2\pi}\quad;\quad b_n=\frac{1}{\pi+n\cdot2\pi}\quad\text{mit}\quad a_n\stackrel{n\to\infty}{\to}0\;;\; b_n\stackrel{n\to\infty}{\to}0$$

Entlang der beiden Wegen erhalten wir:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(a_n^2+\cos\frac{1}{a_n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(\frac{1}{n\cdot2\pi}\right)^2+\cos(n\cdot2\pi)\right)=0^2+1=1$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(b_n^2+\cos\frac{1}{b_n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(\frac{1}{\pi+n\cdot2\pi}\right)^2+\cos(\pi+n\cdot2\pi)\right)=0^2-1=-1$$

Es gibt also 2 Wege, die zu unterschiedlichen Grenzwerten führen. Damit der Grenzwert für \(x\to0\) defiiniert ist, müssen aber alle Wege \(x_n\to0\) auf den gleichen Grenzwert führen. Daher ist die Folge nicht konvergent.