Periodische Dezimalzahl im Achtersystem, Bruchdarstellung

Question

Aufgabe:

Wandle (0,23146)₈ , dabei sind 3146 periodische Nachkommastellen, in einen vollständig gekürzten Bruch um.

Ansatz:

\( \frac{2}{8} \) • ...

Problem: Wie stelle ich die periodischen Nachkommastellen dar? Ergebnis sollte \( \frac{3}{10} \) sein.

Answer 1

Erstmal nur den periodischen Teil

x=(0,03146)₈

==>   8x=(0,Periode3146)₈        |*4096(Komma um 4 Stellen !)

==> 32768x=(3146,Periode3146)₈

==> 32768x - 8x =(3146,Periode3146)₈ - (0,Periode3146)₈

                          =(3146)₈ = (1638)₁₀

==>   32760x = 1638

==>     x = 1/20

==>  (0,23146)₈  = 2/8 + 1/20 = 3/10

Comments

Vielen Dank! Eine Frage habe ich noch: Wo kommt die mal 4096 her bzw. wie kommt die zustande?

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Die Stellen im Achtersystem:

8^4; 8³; 8²; 8; 1

8^4=4096

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Ahh! Vielen Dank!

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Erstmal nur den periodischen Teil

man kann den Rest auch gleich mitnehmen ...$$\begin{aligned} x &= (0,2\overline{3146})_8 &&|\, \cdot (10000)_8\\ (10000)_8 x &= (2314,\overline{6314})_8 &&|\,-(\text{Glg.}1) \\ \left(8^4 -1\right)x &= (2314,4)_8 &&|\, \div \left(8^4-1\right)\\ x &= \frac{((2\cdot 8 + 3)\cdot 8 + 1)\cdot 8 + 4 + \frac{4}{8}}{8^4-1} \\ x &= \frac{1228,5}{4095}=\frac{2457}{8190}=\frac{3}{10} \end{aligned}$$