Extremwertaufgabe. Dose mit V=850 optimieren.

Question

Wir haben eine extrem schwere Aufgabe bekommen.

In unserem Fall V=850. 

Ich habe gegeben A(r,h)=2*pi*r*h+2*pi*r^2

Und pi*r^2*h= 850. Nun soll ich die Aufgabe berechnen... Dann denke ich mir immer:Alter Verwalter wie soll ich das nur bloß hinkriegen?! Entweder ich bin zu blöd oder die Aufgabe ist sehr schwer...

Comments

Vermutlich ist die Aufgabe sehr schwer...

PS:

In unserem Fall V=850. 

Was soll das heißen?

Answer 1

Das kriegst du hin :)

pi*r²*h= 850              |:(pi*r²)

-> h=850/(pi*r²)

Das setzt du in

A(r,h)=2*pi*r*h+2*pi*r²

ein.

A(r)=2*pi*r*850/(pi*r²) +2*pi*r²

= 1700/r  +2pi*r²  

Ableiten

A '(r)= -1700/r²+4*pi*r  

notwendige Bedingung:

ABleitung =0 

->

A '(r)= -1700/r²+4*pi*r  = 0            |*r²

             -1700+4*pi*r³=0              |+1700

                       4*pi*r³=1700        |:4pi 

                             r³=1700/(4pi)    |³√

                           r≈ 5,13349

h=850/(pi*r²)  

r einsetzen:

h=850/(pi*5,13349²)  = 10,267

Comments

also r=5,13  h= 2r=10,267

---

Warum leitet man ab und dann gleich 0 setzen? Ich weiß zwar, warum man das eigentlich macht aber in diesem Kontext verstehe ich nicht warum man ableitet...

---

Die Funktion A beschreibt ja die Oberfläche. Um einen Minimalwert zu finden sucht man folglich das Minimum dieser Funktion.Und das geht bekanntlich durch die notwendige Bedingung:ableiten -> und gleich 0 setzen

---

Immer wenn etwas maximal oder minimal werden soll denken wir an die Bedingung von Extrempunkten. Die erste Ableitung muss also null werden.

---

Gern geschehen immer gern :)

---

Woher kommt aufeinmal die Potenz des Nenners im Bruch der 1. Ableitung?

A '(r)= -1700/r²+4*pi*r

Answer 2

V = pi·r^2·h --> h = V/(pi·r^2)

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·V/(pi·r^2)

O = 2·pi·r^2 + 2·V/r

O' = 4·pi·r - 2·V/r^2 = 0 --> r = (V/(2·pi))^{1/3}

h = V/(pi·r^2)

h = V/(pi·((v/(2·pi))^{1/3})^2)

h = (4·V/pi)^{1/3}

Damit ist die Höhe doppelt so groß wie der Radius.

Nun kannst du noch deine Werte einsetzen und ausrechnen.

r = (V/(2·pi))^{1/3} = (330/(2·pi))^{1/3} = 3.745 cm

h = (4·V/pi)^{1/3} = (4·330/pi)^{1/3} = 7.490 cm

oder mit V = 850

r = (V/(2·pi))^{1/3} = (850/(2·pi))^{1/3} = 5.13 cm

h = (4·V/pi)^{1/3} = (4·850/pi)^{1/3} = 10.27 cm