Ableitung als lineare Abbildung

Question

folgende Aufgabe: 

f : I → R

a, x ∈ I 

Zeigen Sie, das f genau dann differenzierbar in a ist, wenn es eine reelle Zahl m und eine in a stetige Funktion r , 
r : I →R 

mit r(a)=0 gibt, so dass

f(x)=f(a) + m*(x-a) + r(x)*(x-a) für alle x gilt.

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f(x) = f(a) + m*(x-a) + r(x)*(x-a)
(f(x) - f(a)) / (x-a) + m = r(x)
wenn nun der Limes x→a geht muss m der Differentialquotient (f ' (a)) sein, da r(a)=0 ist:

 

So irgendwie gefällt mir meine lösung nicht :/ kann man das anders machen ? bin sehr dankbar über ratschläge.

Answer 1

(f(x) - f(a)) / (x-a) + m = r(x)
wenn nun der Limes x→a geht muss m der Differentialquotient (f ' (a)) sein, da r(a)=0 ist:

??? Hier wird m.E. nicht ganz klar welche Richtung du zeigen willst. Vielleicht so

wenn es eine reelle Zahl m und eine in a stetige Funktion r , 
r : I →R  mit r(a)=0 gibt, so dassgilt

(f(x) - f(a)) / (x-a) - m = r(x)    Das muss -m heißen, da hast du dich vertan!

(f(x) - f(a)) / (x-a) = r(x)  + m

dann existiert wegen der Stetigkeit von r bei a der

lim (für x gegen a) von der rechten Seite und beträgt r(a) + m =  0 + m = m

also existiert auch der lim der linken Seite und damit ist f bei a diffb. mit Ableitung f '(a) = m.

umgekehrt:   f ist bei a diffb.

  Betrachte die Funktion r, die definiert wird durch

(f(x) - f(a)) / (x-a)    - f ' (a)  = r(x)    für x ≠a       und r(a) = 0

Da f bei a diffb, dann existiert der GW von

(f(x) - f(a)) / (x-a)   für x gegen a und hat den Wert f ' (a)

Dann existiert  der GW  von r(x)   für x gegen a und beträgt 0.

 Da auch r(a)=0 ist ,  ist r eine bei a stetige Funktion mit r(a)=0.
und die als existent behauptete Zahl m ist f ' (a) .