Polynome als lineare Abbildung

Question

Aufgabe: $$ \text{Betrachten Sie die }\mathbb{R} \text{-Vektorräume V und W, in denen alle Polynome q:}\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \text{ vom Grad kleiner gleich zwei} $$ $$\text{(bei V), bzw. kleiner gleich drei (bei W) enthalten sind, die die Nullstellen -2 und 3 besitzen.}  $$

$$\text{a Geben Sie eine Basis für V und die Dimension von V an.} $$
$$\text{b Betrachten Sie für diese Basis die Koordinatenabbildung } K_{B} \text{ und bestimmen Sie } K_{B}(q) \text{ mit } q(x) = 5(x+2)(x-3)$$
$$\text{c Betrachten Sie die Abbildung } f:V \rightarrow W \text{ mit } f(p) = (x-1)*p(x).\text{ Zeigen Sie, dass } f(p) \text{ tatsächlich Element von } W \text{ ist} $$

Problem/Ansatz:

Ich bin mir bei dieser Aufgabe sehr unsicher.. hatte als Basis von V = {1,x,x^2} und Dimension 3.

Bei b habe ich einfach die Klammeren ausmultipliziert und das Ergebnis dann als linear Kombination meiner Vektoren dargestellt und die Koeffizienten als Koordinatenabbildung, also 5 -5 -30

Bei c wusste ich dann gar nicht mehr weiter da ich nicht verstanden habe was p(x) ist :(

Vielen Dank schon mal im Voraus.

Answer 1

Nullstellen -2 und 3 ergibt, dass die Linearfaktoren (x+2) und (x-3)

enthalten sind.

==>  V enthält alle Polynome a (x+2)* (x-3) mit a∈ℝ.

                              = a*(x^2 - x - 6).

Also ist V eindimensional und hat als Basis z.B. {x^2 - x - 6}

b) K_B(q)=5.

c) \( f:V \rightarrow W \text{ mit } f(p) = (x-1)*p(x) \)

Das p ist ein Element von V, also sowas wie p(x)=a (x+2)* (x-3)

Dann ist f(p) = a (x+2)* (x-3)*(x-1) und das hat in der Tat

wieder die Nullstellen -2 und 3 und ist vom Grad 3, also El. von W.