Unterschied Punktweise und Gleichmässige Konvergenz

Question

Mir ist nicht ganz klar was der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmässiger Konvergenz ist. Ich habe im Internet ein Beispiel gesehen bei dem man die Folge f_n(x)=x/n betrachtet. Die ist anscheinend punktweise Konvergent. Das kann ich mir noch vorstellen, denn für irgend ein festes x∈ℝ geht die Funktionsfolge gegen f(x)=0.

Nun verstehe ich aber nicht wieso Sie nicht auch gleichmässig konvergent ist?

Um zu überprüfen ob eine Funktionsfolge punktweise konvergent ist, kann man ja schauen ob das Supremum von abs(x/n - 0) eine Nullfolge ist für x∈ℝ . Nun wissen wir doch schon dass x/n gegen 0 geht, dann ist doch sup(abs(x/n 0 0)) = 0 ? Und somit wäre es doch gleichmässig konvergent?

Ich hoffe mir kann jemand helfen, 

Gruss

Answer 1

> das Supremum von abs(x/n - 0) eine Nullfolge ist für x∈ℝ

Wähle x = n, dann ist |x/n - 0| = 1, also sup |x/n - 0| ≥ 1. Nix Nullfolge.

Comments

Oh also ist der Unterschied das bei Punktweiser Konvergenz das x fest sein muss und bei gleichmässiger Konvergenz kann das x selbst auch eine Folge sein?