Quadratisches Taylorpolynom bestimmen

Question

Es geht um folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie das quadratische Taylorpolynom T₂ für die Funktion

f(x,y) = sin(xy) + 2ye^x

an der Stelle (0,π)

Wie man das Taylorpolynom bestimmt, habe ich vor einer Weile mal verstanden, aber ich weiß nicht was das mit den beiden Variablen in f soll, also bei f(x,y) und wie man das dann berechnet.

Kann mir da bitte jemand einen Rechenweg bieten?

Answer 1

Sieh mal dort :

http://www.math.tugraz.at/~wagner/Taylor.pdf

Bei dir heißt das:

Esrtmal die Ableitungen bilden

f_x' (x,y) = y * cos(xy) + 2y*e^x also  f_x' (0,pi) = 3pi
f_y' (x,y) = x*cos(xy) + 2e^x   also  f_y' (0,pi) = 2

f_xx' ' (x,y) = 2y*e^x - y^2 * sin(xy)   also  f_xx' ' (0,pi) = 2pi

f_xy' ' (x,y) = 2e^x  + cos(xy) - y * sin(xy)   also  f_xy' ' (0,pi) = 3

f_yy' ' (x,y) = - x^2 *  sin(xy)   also  f_yy' ' (0,pi) = 0

Also Taylorpolynom:

T(x,y) = 2pi + 2pi*(x-0) + 2*(y-pi) + 0,5 * ( 2pi(x-0)^2  +2*3*(x-0)(y-pi) + 0*(y-pi)^2 )

= 2pi + 2pix + 2*(y-pi) + pix^2  +3x(y-pi)