quadratisches Taylorpolynom zu f: R -> R, x-> e^2x (sqrt(1+4x^2)+sin(x)). Stimmt 1+3(x-0)+6(x-0)^2?

Question

Hi, ich soll das quadratische Taylorpolynom zu dieser Funktion bestimmen:

f: R -> R, x-> e^2x (sqrt(1+4x^2)+sin(x))

um die stelle x=0

jetzt habe ich die funktion abgeleitet und 0 eingesetzt jeweils und komme auf:

1+3(x-0)+6(x-0)^2

stimmt das?

Answer 1

mit diesem Online-Rechner

http://de.numberempire.com/taylorseriesexpansion.php

kann man das Ergebnis vergleichen.

Gruß Wolfgang

Comments

es scheint als wäre es ohne wurzel eingegeben in dem rechner, ich komme deshalb schon auf mein ergebnis...

ich sehe das einfach als bestätigung, dass ich es richtig gerechnet habe :D

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Stimmt, beim Pasten habe ich wohl die Wurzel unterschlagen. Bei richtiger Eingabe erhältst du dein Ergebnis

Werde die Antwort deshalb entsprechend kürzen.

Answer 2

du kannst die Ableitungen berechnen.

Du kannst auch direkt die Taylorentwicklungen an der Stelle x=0  von e^x≈(1+x+x^2/2), sqrt(1+x)≈1+x/2

->sqrt(1+4x^2)≈1+(4x^2)/2 , sin(x)≈x

einsetzen und ausmultiplizieren:

e^{2x}(sqrt(1+4x^2)+sin(x))≈(1+2x+(2x)^2/2)(1+(4x^2)/2+x)=4x^4+6x^3+6x^2+3x+1≈6x^2+3x+1

Dein Ergebnis passt also ;)