Taylorpolynom sieht so aus:
$$T(p)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(p-a) + \frac{f''(a)}{2!}(p-a)^2 + \dots $$
Die Funktion und die ersten beiden Ableitungen an der Stelle \(a=1/3\) sind
$$ \begin{aligned} f(p)&=\frac12 \ln(3p+1) \quad &f(\frac13)&= \frac12 \ln(2)\\ f'(p)&=\frac{3}{6p+2} &f'(\frac13) &= \frac34\\ f''(p)&=-\frac{18}{(6p+2)^{2}} & f''(\frac13) &= -\frac98\end{aligned}$$ Einsetzen gibt dann
$$T(p) = \frac12 \ln(2) + \frac34(p-\frac13) + -\frac{9}{16}(p-\frac13)^2$$ das sieht als Graph so aus:
~plot~ ln(3x+1)/2;{1/3|ln(2)/2};ln(2)/2 + 3(x-(1/3))/4 - 9(x-(1/3))^2/16;[[-1|4|-2|2]] ~plot~
Du fragst:
T(p) = (ln(2)/2) + 3/4*(p-1/3) - 18/(2*(6p+2)2)*(p-1/3)2 Stimmt das ?
würde stimmen, wenn das \(p\) unter dem Bruchstrich kein \(p\) sondern ein anderer Buchstabe wäre. Hier gehört \(1/3\) hin. Bei Dir ist schon in der Aufgabenstellung \(p \ne p\).
