Fibonacchi-Zahlen: vollständige Induktion. Zeige: F(2n+1) = 3F(2n-1) - F(2n-3)

Question

Die Folge der Fibonacchi-Zahlen \( \mathrm { F } _ { \mathrm { i } } ( \mathrm { i } \in \mathbb { N } ) \) ist definiert durch \( \mathrm { F } _ { 0 } = 0 ; \mathrm { F } _ { 1 } = 1 \) und \( \mathrm { F } _ { \mathrm { n } + 2 } = \mathrm { F } _ { \mathrm { n } + 1 } + \mathrm { F } _ { \mathrm { n } } \).

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:

$$\mathrm { F } _ { 2 \mathrm { n } + 1 } = 3 \mathrm { F } _ { 2 \mathrm { n } - 1 } - \mathrm { F } _ { 2 \mathrm { n } - 3 }$$

Answer 1

F(0) = 0
F(1) = 1
F(2) = 0 + 1 = 1
F(3) = 1 + 1 = 2
F(4) = 3
F(5) = 5

Ich soll zeigen das gilt:

F(2n+1) = 3F(2n-1) - F(2n-3)

Ich setzte erst mal n = 1 ein.

F(3) = 3F(1) - F(-1)

Ok also n darf schonmal nicht 1 sein. Also setzte ich mal 2 ein

F(5) = 3F(3) - F(1)
5 = 3*2 - 1