Zwei Radsportler unterschiedlicher körperlicher Statur führen Versuche durch, um Aufschluss über Ihren Trainingsstand zu bekommen. Radsportler A ist deutlich größer und schwerer als Sportler B. Dadurch ist Sportler A auf flachen und abfallenden Straßen im Vorteil. Radsportler B hingegen ist aufgrund seines niedrigen Körpergewichts bei steilen Anstiegen schneller als sein Kollege. Sportler A stellt fest, dass seine Geschwindigkeit vA mit jedem Steigungsprozent s um pA = 8 % abnimmt. Auf ebener Straße kann er v0A = 30,0 km/h fahren, sein Kollege erreicht hier v0B = 27 km/h. Fahrer B misst bei einer Steigung von 12 % eine Geschwindigkeit von 12,85 km/h.
a) Stellen Sie die Gleichungen für die Geschwindigkeiten der beiden Sportler in Abhängigkeit von der Steigung auf. Nehmen Sie in beiden Fällen exponentielles Wachstum an.
a(s) = 30·(1 - 0.08)^s = 30·0.92^s
b(s) = 27*(1 - p)^s
b(12) = 27·(1 - p)^12 = 12.85
p = 1 - (12.85/27)^{1/12} = 0.06
b(s) = 27·(1 - 0.06)^s = 27·0.94^s
b) Bei welcher Steigung fahren beide Radsportler genau gleich schnell?
a(s) = b(s)
30·0.92^s = 27·0.94^s
30/27 = 0.94^s/0.92^s
30/27 = (0.94/0.92)^s
s = ln(30/27) / ln(0.94/0.92)= 4.899075154
Bei einer Steigung von ca. 4,9% fahren sie gleich schnell.
