Kurvendiskussion für Funktionenschar/e-Funktion

Question

Die Funktion zu der wir eine Kurvendiskussion machen sollten war:
f_(k)(x)=k * x * e^{-kx²}

Das angehängte Bild ist die Lösung zu der Aufgabe, aber da verstehe ich nicht alles.
Ich habe soweit alles hinbekommen bis auf das Einsetzen der Werte aus der notw. Bed. der Wendestellen in die hinreichende. Bei den Extrema hat er mir erklärt, dass er vor dem Einsetzen ein x ausgeklammert hat, aber was er bei den Wendestellen gemacht hat, hat er mir nicht erklärt. Er meinte nur ich müsse das eigentlich können, so eine Aussage hilft mir aber nicht wirklich weiter.....


Kann mir jemand erklären welche Schritte gemacht wurden damit man auf dieses Ergebnis kommt?

Beim reinen Einsetzen kommt ja diese Funktionslgeichung zustande:

 $${ f }_{ k }'''(-\sqrt { \frac { 3 }{ 2k }  } )=\quad (-8k^{ 4 }(-\sqrt { \frac { 3 }{ 2k }  } )^{ 4 }+24k³(-\sqrt { \frac { 3 }{ 2k }  } )²-6k^{ 2 })\cdot e^{ -k\quad (-\sqrt { \frac { 3 }{ 2k }  } )² }$$

Wie kommt man dann zu dem was in der Lösung steht?

Answer 1

Du bildest die dritte Ableitung

f'''(x) = - 2·k^2·e^{- k·x^2}·(4·k^2·x^4 - 12·k·x^2 + 3)

Hier setzt du jetzt

√(3/(2·k)) bzw. - √(3/(2·k)) ein. Da x aber nur in gerade Potenzen vorkommt langt es √(3/(2·k)) einzusetzen

Benutze beim Einsetzen gleich: (√(3/(2·k)))^2 = 3/(2·k)

f'''(√(3/(2·k))) = - 2·k^2·e^{- k·[3/[2·k]]}·(4·k^2·(3/(2·k))^2 - 12·k·(3/(2·k)) + 3)

Das solltest du vereinfachen können

f'''(√(3/(2·k))) = - 2·k^2·e^{- 1.5}·(4·(3/2)^2 - 12·3/2 + 3)

f'''(√(3/(2·k))) = - 2·k^2·e^{- 1.5}·(- 6)

f'''(√(3/(2·k))) = 12·k^2·e^{- 1.5}

Das > 0 wenn k <> 0 ist, weil dann alle Faktoren > 0 sind.

Comments

Ok.
Aber ich würde eigentlich lieber wissen wie mein Lehrer das gemacht hat (siehe Bild oben). Wie diese Brüche entstanden sind usw. Wenn ein (√(...))² irgendwo steht, dann hebt sich ja die Wurzel und das (...)² gegenseitig auf, aber wie ist das bei (√...)⁴?

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Fülltext

√ x^4 = x^2

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Du brauchst nur einsetzen. Dann bekommst du den gleichen Term wie dein Lehrer.

(√x)^2 ist damit nur x

(√x)^4 ist damit x^2

Für x kann auch der ganze Ausdruck unter der Wurzel stehen.