Gegeben ist die Funktionenschar mit f_(b):=(x-b)*e^x

Question

Hallo 

Ich muss die gesamte Aufgabe lösen, komme jedoch nicht mit den ersten 3 Ableitungen klar.. Also kann ich auch keine WP/extreme berechnen. 

Die Aufgabe ist wie folgt im Foto zu sehen.

Wenn jemand so nett wäre und mir helfen könnte?

Comments

Ableitung ( e^term ) = e^term * ( term ) ´
( e^x  ) ´ =  e^x * 1 = e^x

f ( x ) = ( x - b ) * e^x
Produktregel
f ´( x ) = 1 * e^x + ( x - b ) * e^x
f ´( x ) = e^x + ( x - b ) * e^x
f ´( x ) = e^x + ( 1 + x - b )
f ´´( x ) = e^x + ( 2 + x - b )
f ´´´( x ) = e^x + ( 3 + x - b )

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Danke für die Antwort, habe allerdings als erste Ableitung fb(x)=(1-b)e^x+(x-b)e^x raus. Wie kommst du zur 1 in der Klammer in der 1. Ableitung?

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das b entfällt beim Ableiten
( x - b ) ´ = x ´ = 1

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Das b wird dachte ich als Konstante/bzw. wie eine Zahl behandelt?!

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Nein

( x - 4 ) ´=  x´- 4 ´= 1

Im Term b ist doch gar kein x vorhanden das abgeleitet werden könnte.

Die 1.Ableitung ist die Steigung.
y = b
Dies ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand b.
Die Funktion y = b hat die Steigung 0.

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Ah ok, könntest du mir auch bei den anderen Aufgaben Hilfestellung leisten?

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Funktion blau
1.Ableitung rot

~plot~ ( x - 2 ) * e^x  ;  e^x + ( x - 2 ) * e^x ~plot~

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Ja jetzt sehe ich es! Und nun kann ich die nullstellen berechnen. Kannst du mir bei b) helfen?was ist in der Aufgabe von mir gewollt?

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Definitionsbereich
D = ℝ

Nullstelle
(x-b)*e^x = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
x - b = 0
x = b
N ( b  | 0 )

e^x ist stets ungleich 0

Verhalten im Unendlichen
lim x −> ∞ [ ( x - b ) * e^x ] = ∞ * ∞ = ∞
lim x −> - ∞ [ ( x - b ) * e^x ] = - ∞ * 0 =0 (-)

Fehlerkorrektur
f ´( x ) = e^x * ( 1 + x - b )
f ´´( x ) = e^x * ( 2 + x - b )
f ´´´( x ) = e^x * ( 3 + x - b )

Extrempunkt
f ´( x ) = e^x * ( 1 + x - b )  = 0
e^x * ( 1 + x - b )  = 0
1 + x - b = 0
x = b - 1

Ich hatte hier weitere Antworten ( umfangreich ) schon ausgearbeitet:
Leider ist durch einen Fehler in der Forums-Software alles
verschwunden. ( Der Fehler ist bekannt )

Nochmal mache ich die Ausarbeitungen aber nicht mehr.

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"Der Fehler ist bekannt." - Nein, dieser Fehler ist nicht bekannt.

Bitte beschreibe die notwendigen Schritte, um den Fehler zu reproduzieren.

Auch ist wichtig zu wissen, welchen Browser du verwendest.

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Es ist ein Fehler unterlaufen? Schade, würde mich gerne noch einmal für die Mühe bedanken, du hast mir sehr weitergeholfen. Im Unterricht verstehe ich das Meiste, jedoch kam ich bei dieser Aufgabe mit der Ableitung einfach nicht klar.

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@hj2077
Schön das ich dir weiterhelfen konnte.
Die ganze Aufgabe ist schon recht umfangreich und es müßte
z.B. bei der Bildung der Stammfunktion jede Menge erklärt
werden.
Falls du dich selbst weiterbilden willst empfehle ich die Seite
www.abiturloesung.de
Dort findest jede Menge Abituraufgaben ( vergleichbar mit deiner
Aufgabe ), Unterrichtsstunden dazu ( Videos ) und vorgerechnete
Lösungen.
Zum Lernen also bestens geeignet.

@Kai
Es ist bei mir ein paar Mal vorgekommnen das ein Kommentar / Antwort
nach dem Absenden verschwunden war. Unknown berichtete dir
auch davon.
Leider kann ich den Fehler nicht reproduzieren. Ich weiß auch nicht
wo oder wann der Fehler auftritt.
Deshalb habe ich dir den Link angegeben. Vielleicht hast du den
Ablauf des Links ja vorliegen und kannst an den Beiträgen sehen
wo eventuell etwas verloren gegangen ist.

mfg Georg

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Georg, in deinen Ableitungen muss es an geeigneter Stelle mal statt plus heißen.

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Wurde oben schon korrigiert durch

Fehlerkorrektur
f ´( x ) = e^x * ( 1 + x - b )
f ´´( x ) = e^x * ( 2 + x - b )
f ´´´( x ) = e^x * ( 3 + x - b )

Bitte mitteilen sollte der Fehler in meinen Berechnungen irgendwo
auftauchen.

Answer 1

Die Ableitungen im ersten Kommentar sind falsch.

Mit [ e^x ] ' = e^x gilt:

f_b(x)  =  (x - b) • e^x

f_b' (x)  =  1 • e^x + (x - b) • e^x = e^x • (1 + x - b)     (Produktregel: [ u•v ] ' = u'•v + u•v' )

f_b'' (x)  = e^x • (1 + x - b) + e^x • 1 = e^x • (1 + x - b +1) = e^x • (2 + x - b)

f_b''' (x) =  e^x • (2 + x - b) + e^x • 1  = e^x • (2 + x - b + 1) = e^x • (3 + x - b)

Answer 2

zu b)

Es ist ja f2 ' = f1

Der Vergleich zeigt also: Sie sind gleich.

Verallgemeinerung:

f_b (x)= (x-b)*e^x      f_b ' (x) = ( x - b + 1) * e^x = ( x - (b-1) ) e^x 

also ist immer  f _b+1 ' (x) =  f_b (x)