Bestimme alle Vektoren des R^4, die auf a= (1,2,1,3), b = (5,9,2,10) und c = (6,11,3,13) orthogonal sind.

Question

Bestimmen sie alle vektoren des R^4, die auf die vektoren a= (1, 2, 1, 3) b = (5, 9, 2, 10) und c = (6, 11, 3, 13) orthogonal stehen.

Wir suchen also vektoren x = ( ε1, ε2,..ε 4) welche erfülen:

(a,x) = 0 und (b,x)= 0 und (c,x)=0

Mit der Definition des euklidischen inneren Produkts ergibt sich ein homogenes Gleichungssystem:

1 2 1 3

5 9 2 10        -> Soll eine 3 x 4 Matrix sein.

6 11 3 13

Ich glaube ich muss hier dann die Kern der Matrix und danach die Basis des Kerns ausrechnen. Aber ich komm nicht auf das richtige Ergebnis.

Comments

Du solltest die Matrix ordentlich durchgaußen, das führt zum Ziel.
Ansonsten ist richtig, was Du geschrieben hast.

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Alternative: (a,x) = 0 und (b,x)= 0 und (c,x)=0

Sind 3 Gleichungen für 4 Unbekannte. Eine davon 1 setzen, so dass der Rest möglichst einfach wird.

Am Schluss t* den gefundenen Vektor als Lösung angeben.

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wenn ich das gaußsche eliminationsverfahren anwende, komme ich auf folgende.

mit * kennzeichne ich meine Pivotelemente:

1* 2 1 3                 1 2 1 3                  1 0 -5 -7

5 9 2 10      ->       0 -1* -3 -5      ->       0 1 3 5

6 11 3 13               0 -1 -3 -5                0 0 0 0

so. und jetzt hab ich den Tipp bekommen, dass ich alle nichtbasischen Variablen( also jene Spalten, die nicht Pivotspalten waren) Nullsetzen soll, bis auf eine und dann sollte ich die Basis des Kern erhalten. Weiß jedoch nicht wie ich das jetzt angehen soll?!

Answer 1

[1*, 2, 1, 3]
[5, 9, 2, 10]
[6, 11, 3, 13]

[1, 2, 1, 3]
[0, -1, -3, -5]
[0, -1, -3, -5]

Jetzt bleiben c und d als unbekannte stehen also als deine 2 Freiheitsgrade

-b - 3c - 5d = 0
b = -3c - 5d

1a + 2b + 1c + 3d = 0
1a + 2(-3c - 5d) + 1c + 3d = 0
a - 5c - 7d = 0
a = 5c + 7d

Jetzt lautet der Lösungsvektor

[5c+7d, -3c-5d, c, d]

Alle diese Vektoren stehen also auf den dreien von oben senkrecht.

Comments

wenn ich das gaußsche eliminatinsverfahren bis zum schluss anwende, komme ich auf folgende matrix:

1  0  -5  -7

0  1  3    5

0  0  0   0


Als Lösung für Basis des Kerns stehen dann 2 Vektoren da:

x1 = (5, -3, 1, 0 ) und x2=(7, -5, 0 , 1)


Wie kann ich x1 und x2 ablesen?

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Nimm mal beine Lösung

[5c+7d, -3c-5d, c, d]

Und teil das auf in c und d

[5, -3, 1, 0]c + [7, -5, 0, 1]*d

x1 = [5, -3, 1, 0]
x2 = [7, -5, 0, 1]