A^k=E. Beweisen Sie, dass A diagonalisierbar ist

Question

Man hat eine quadratische komplexe Matrix A mit A^k=E für ein k aus den natürlichen Zahlen. Jetzt soll man beweisen, dass A diagonalisierbar ist.

Was für einen Ansatz kann man da denn wählen? Weiß leider überhaupt nicht, wo ich anfangen soll.

Answer 1

Hi,

A ist Nullstelle des Polynoms $$  p(x) = x^k - 1 $$

damit ist das Minimalpolynom von A ein Teiler des Polynoms p.

Da das Polynom über \( \mathbb{C} \) in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen Nullstellen zerfällt besitzt auch das Minimalpolynom paarweise verschiedene Nullstellen und damit ist A diagonalisierbar.