Wie zerlege ich eine Matrix in eine Addition zweier anderer Matrizen?

Question

Hi :)

Ich habe folgende Aufgabe und komme leider nicht weiter:

Gegeben ist eine reelle Matrix A mit

Nun soll ich eine Zerlegung der Matrix A finden, sodass A = B + C

Dabei müssen dann B und C folgende Eigenschaften haben:

(1.) B ist diagonalisierbar
(2.) C ist nilpotent
(3.) BC = CB

B und C sind dabei auch zwei reelle 2×2 Matrizen

Ich habe leider keine besondere Idee, wie man an die Sache ran gehen könnte. Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

Hi,
die Eigenwerte der Matrix A sind \( \lambda = 2 \). Deshalb sieht die Jordanmatrix so aus
$$ J = \begin{pmatrix}  2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}  $$ Die dazugehörige Transformationsmatrix T sieht so aus
$$ T = \begin{pmatrix}  -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ Damit gilt
$$ A = T \cdot J \cdot T^{-1} $$
Zerlege jetzt \( J \) in den Diagonalteil und den Rest, dann folgt
$$ A = T \cdot \text{diag}(J) \cdot T^{-1} + T \cdot ( J - \text{diag}(J) ) \cdot T^{-1} $$
Deine gesuchten Matrizen B und C sind also
$$ B = T \cdot \text{diag}(J) \cdot T^{-1} = \begin{pmatrix}  2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ und
$$ C = T \cdot ( J - \text{diag}(J) ) \cdot T^{-1} = \begin{pmatrix}  -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$
Es gilt außerdem auch \( BC = CB \)

Comments

Ich habe das auch so gemacht aber hatte andere Matrizen raus, bei denen stimmt BC aber nicht mit CB überein, wird also ein Rechenfehler sein. Ich muss außerdem noch zeigen, dass diese Zerlegung eindeutig ist, aber sieht man das nicht schon direkt am Verfahren selbst?

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Siehe hier

http://fma2.math.uni-magdeburg.de/~mathww/laag2010/skript_kap12_2.pdf

Bemerkung 12.4.5

Answer 2

Lies über Jordan-Chevalley-Zerlegung.