Konvergenz von Reihe mit Summanden (n+1)/(n^2+2n+3), richtig so?

Question

Bei dieser Aufgabe soll ich folgende Reihe auf Konvergenz überprüfen:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { n+1 }{ n²+2n+3 }  } \quad \\ Mein\quad Lösungsvorschlag:\\ Ich\quad betrachte:\quad \frac { n+1 }{ n²+2n+3 } \quad =\quad \frac { n+1 }{ (n+1)²+2 } \quad \le \quad \frac { 1 }{ n+1 } \quad \le \quad \frac { 1 }{ n } \quad (also\quad harmonische\quad Reihe,\quad die\quad divergiert) $$

Bin ich auf dem richtigen Weg?

Leider weiß ich jetzt nicht ganz genau, ob ich das Minorantenkriterium hier anwenden kann, weil eigentlich müsste ich doch einen divergenten Ausdruck finden, der größer gleich meiner Reihe ist ?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

Answer 1

deine Abschätzungen sind alle richtig.

Um Divergenz zu zeigen, müsstest du deine Reihe aber nach unten abschätzen, bei Konvergenz nach oben.

Von daher kannst du am Ende keine Aussage treffen, da wir nur wissen, das an < 1/n .

Meine Abschätzungen: (ohne Beschränkung der Allgemeinheit n>=2, n=0 und n=1 geben nur endliche Beiträge die nicht stören)

(n+1)/(n^2+2n+2)>=n/(n^2+2n+2)>=n/(n^2+2n+n)

=1/(n+3) harmonische Reihe

Somit divergiert die Summe über an.